§ 2.2 Пружинный, математический и физический маятники

Пружинный маятник – это грузик массы m на пружине жёсткости k (рис 2.5). Второй закон Ньютона для вертикальных колебаний грузика

k x m Рис. 2.5

,

(2.16)

где F = -kx – возвращающая сила, т.е. равнодействующая силы тяжести грузика и сила упругости пружины

,

отсюда

Из (2.5) и (2.6) получаем период колебаний пружинного маятника

(2.17)

Математический маятник – это материальная точка на невесомой и нерастяжимой нити длиной (рис. 2.6). При гармонических колебаниях смещение маятника от положения равновесия х много меньше длины нити х <<, поэтому для угла отклонения нити от вертикалиимеет место соотношение

FH F x mg Рис. 2.6

Следовательно второй закон Ньютона для материальной точки массы m

ma = F

,

(2.18)

можно записать в виде

где - ускорение точки,

F = mg sin =mg - возвращающая сила. Знак минус в правой части (2.18) означает, что возвращающая сила направлена противоположно смещению х.

Таким образом, дифференциальное уравнение гармонических колебаний математического маятника

(2.19)

Сравнивая (2.19) c (2.7) и учитывая (2.6), получаем период колебаний математического маятника

(2.20)

Физический маятник – это абсолютно твёрдое тело, совершающее колебания относительно горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс маятника С (рис. 2.7). Основное уравнение динамики вращательного движения для маятника

Jε = M,

(2.21)

где J – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси проходящей через точку О.

О С φ mg Рис. 2.7

ε

(2.22)

Угловое ускорение маятника

Момент силы тяжести маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О

M = mgd sinφ,

(2.23)

где m – масса маятника

d = CO – расстояние от оси до центра масс маятника С.

При малых углах отклонения маятника от вертикали можно считать, что

(2.24)

Подставляя (2.22), (2.23) с учётом (2.24) в выражение (2.21), получаем

(2.25)

Минус означает, что момент возвращающей силы противоположен угловому перемещению. Отсюда получаем

(2.26)

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника. Из сравнения (2.26) и (2.7), находим период колебаний физического маятника

(2.27)

Сопоставляя (2.27) и (2.20), находим приведенную длину физического маятника

(2.28)

- это длина нити математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом данного физического маятника.

§ 2.5 Затухающие колебания

При наличии трения энергия и, следовательно, амплитуда колебаний уменьшается. В случае малых колебаний величина силы трения пропорциональна скорости

, (2.39)

где - скорость колеблющегося тела,

- коэффициент трения.

Знак минус показывает, что сила трения направлена противоположно скорости.

Уравнение 2-го закона Ньютона для колеблющегося тела при наличии трения

. (2.40)

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

, (2.41)

где величина

(2.42)

называется коэффициентом затухания, аопределяется из (2.5).

При малом затухании решение уравнения (2.41) имеет вид

, (2.43)

где величина

, (2.44)

называется частотой затухающих колебаний, а

, (2.45)

является амплитудойзатухающих колебаний.

На рис.2.16 представлен графикзатухающих колебаний, где- смещение колеблющегося тела от положения равновесия. Пунктиром показано изменение амплитуды колебаний со временем.

Рассмотрим две последовательные амплитуды колебаний и(рис.2.16), отличающиеся по времени на- период колебаний. Из (2.45) получаем

Найдем величину

(2.46)

- логарифмический декремент затухания.

Формула (2.46) показывает связь между логарифмическим декрементом и коэффициентом затухания. Отметим, чтохарактеризует время, а- число периодов, через которое амплитуда колебаний уменьшается враз, где- основание натурального логарифма.

При больших затуханиях частота затухающих колебаний(2.44) становится мнимой, и в системе происходитапериодическийпроцесс, т.е. при отклонении от положения равновесия тело возвращается в него по экспоненциальному закону (рис.2.17).