Для работы по рядам-гиперболические функции

Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения Sh и Ch. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp, в русскоязычной литературе закрепились обозначения sh, ch, в англоязычной закрепились sinh,cosh.

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

(в англоязычной литературе обозначается sinh(x))

• гиперболический косинус:

• гиперболический тангенс:

(в англоязычной литературе обозначается tanh(x))

• гиперболический котангенс:

,

Иногда также определяются

• гиперболические секанс и косеканс:, .

В связи с особенностями написания операторов гиперболических функций в русском языке появился ряд жаргонных наименований этих функций. Простейшее (и наиболее распространённое) словообразование использует уточняющую приставку «гипер-» к названиям тригонометрических функций. Также существуют такие жаргонные названия:

•  — «ши́нус», «сихинус».

•  — «чо́синус», «коши́нус», «коси́хинус», «чуби́нус», «чи́нус», «чихо́нус».

•  — «ча́нгенс», «та́шинус», «та́хинус», «таха́нгенс».

•  — «кочангенс», «кота́хинус».

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Геометрическое определение

Ввиду соотношения ch²t-sh²t=1, гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x² − y² = 1 (x=cht, y=sht). При этом аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

.

.

sin (х) = Im(e) cos(x) = Re(e), где e ix = cos (x) + i sin(x).

Функция Гудермана, названная в честь Кристофа Гудермана (1798—1852), связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел. Она определяется как

При этом .

Имеют место также следующие тождества:

, ,

, ,

Важные тождества

1. 

2. Чётность:

   1. 

   2. 

   3. 

3. Формулы сложения:

   1. 

   2. 

   3. 

4. Формулы двойного угла:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

   6. 

5. Формулы кратных углов:

6. Произведения

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

7. Суммы

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

8. Формулы понижения степени

9. Производные:

10. Интегралы:

    1. 

    2. 

    3. 

    4. 

    5. 

Неравенства

При всех выполняется:

,

Разложение в степенные ряды

(Ряд Лорана)

Здесь B_2n — числа Бернулли.

Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

 — обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус:

 — обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус.

 — обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.

 — обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.

 — обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс.

 — обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс.

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, пишут как (причём обозначает другую функцию  — ), и т. д.