11.2. Некоторые сведения из аналитической и дифференциальной геометрии

Говоря о форме оболочки, мы будем иметь в виду не форму верхней и нижней поверхности оболочки, а форму ее срединной поверхности, т. е. форму поверхности, делящей повсюду толщину оболочки пополам. Относя срединную поверхность к декартовой системе координат, будем пользоваться ее уравнением

где х, у, z – абсциссы, ординаты, аппликаты точек срединной поверхности.

Уравнения поверхности эллиптического параболоида (рис. 11.2)

Рис. 11.2. Эллиптический параболоид

Поверхность гиперболического параболоида может быть задана уравнением (рис. 11.3)

Рис. 11.3. Гиперболический параболоид

либо уравнением (рис. 11.4)

Рис. 11.4. Гиперболический параболоид

В зависимости от величины гауссовой кривизны различают три типа точек поверхности – эллиптические, параболические и гиперболические.

Если в точке поверхности гауссова кривизна положительна, такая точка – эллиптическая (рис. 11.5); если равна нулю – параболической (рис. 11.6); если отрицательная – гиперболической (рис. 11.7).

Рис. 11.5. Поверхность гауссовой кривизны с эллиптической точкой

Рис. 11.6. Поверхность гауссовой кривизны с параболической точкой

Рис. 11.7. Поверхность гауссовой кривизны с гиперболической точкой

11.3. Классификация оболочек двоякой кривизны

Разнообразие видов и типов оболочек, применяемых для по­крытия зданий, довольно значительно. В зависимости от вида срединной поверхности можно классифицировать оболочки по раз­личным признакам.

1. По характеру кривизны срединной поверхности различают оболочки одиночной и двоякой кривизны.

Поверхность одиночной кривизны изогнута в одном направле­нии. Касательная плоскость касается поверхности в любой ее точке по прямой линии, проходящей через точку. Такова, например, цилиндрическая поверхность. Любое поперечное сечение цилиндри­ческой поверхности – ее образующая – имеет одинаковую форму в виде отрезка окружности, эллипса, цепной линии и др. Направляю­щая цилиндрической поверхности прямолинейна.

Поверхность двоякой кривизны изогнута в двух направлениях. Синкластическая поверхность изогнута в одинаковом направлении по любому сечению. Это означает, что касательная плоскость имеет одну точку касания и вся синкластическая поверхность распо­ложена по одну сторону от касательной плоскости; центры кри­визны в обоих главных направлениях расположены с одной и той же стороны от синкластической поверхности. Примером син­кластической поверхности может служить эллиптический пара­болоид, сферический купол и др.

Антикластическая поверхность изогнута в противоположных направлениях. Касательная плоскость в какой-либо точке рассе­кает поверхность по двум линиям, пересекающимся в данной точке. Центры кривизны сечений главных направлений расположены по разным сторонам от касательной плоскости. Поверхности гипер­болического параболоида, коноида и некоторые другие являются антикластическими поверхностями.

2. В зависимости от способа перемещения образующей линии по направляющей можно указать две группы оболочек – трансля­ционные оболочки (или, как они также называются, оболочки пере­носа) и оболочки вращения.

Срединная поверхность трансляционных оболочек получается при перемещении прямолинейной или плоской криволинейной обра­зующей по прямолинейной или плоской криволинейной направляю­щей, причем плоскость образующей остается параллельной неко­торой заданной плоскости. Например, цилиндрическая поверхность может быть получена при параллельном перемещении криволи­нейной образующей по нормальной к ее плоскости прямолинейной направляющей; поверхности эллиптического и гиперболического параболоидов получаются при параллельном переносе образующей, имеющей форму квадратной параболы, перемещаемой по направляющей, также представляющей квадратную параболу. Другие виды трансляционных поверхностей могут быть получены при параллельном перемещении криволинейной образующей, имеющей лю­бую форму, например форму отрезка окружности, эллипса и другую, по криволинейной направляющей, также имеющей любую форму.

К группе трансляционных поверхностей можно отнести и по­верхность коноида, если рассматривать ее как след прямолинейной образующей, перемещаемой по двум направляющим, одна из кото­рых криволинейна (например, имеет форму параболы, отрезка окружности, цепной линии и др.), а другая прямолинейна, причем образующая остается при перемещении параллельной заданной плос­кости, а прямолинейная направляющая параллельна плоскости криволинейной направляющей.

Срединная поверхность оболочек вращения образуется при вра­щении прямолинейной или плоской криволинейной образующей вокруг прямолинейной оси, лежащей в плоскости образующей. Сече­ние поверхности плоскостью, перпендикулярной оси вращения, дает окружность. При прямолинейной образующей получается кониче­ская оболочка, при криволинейной образующей и вертикальной оси вращения – купольная оболочка, при криволинейной образую­щей и горизонтальной оси вращения – бочарная оболочка; при вращении четверти эллипса вокруг одной из осей получаем эл­липтический купол; при вращении дуги окружности вокруг оси, проходящей через центр образующей, получается шаровой или сферический купол. Эллиптический параболоид, образующая и направляющая которого представляют одинаковые параболы, яв­ляется также поверхностью вращения и называется в этом случае параболоидом вращения.

3. В зависимости от того, может ли прямая линия быть совме­щена с поверхностью, различают поверхности линейчатые и нели­нейчатые.

Примерами линейчатых поверхностей могут служить кониче­ская и цилиндрическая поверхности, гиперболический параболоид, коноид, примерами нелинейчатых поверхностей – поверхности вра­щения с криволинейной образующей, эллиптический параболоид и вообще трансляционные поверхности с криволинейными образую­щей и направляющей.

Оболочки с линейчатой срединной поверхностью представляют особый интерес со строительной точки зрения, так как опалубка для них может быть выполнена из прямых досок.

4. С точки зрения возможности разогнуть поверхность без разрывов и складок на плоскость различают поверхности разверты­вающиеся и неразвертывающиеся.

Развертывающиеся поверхности, например коническая и ци­линдрическая, имеют, как правило, нулевую гауссову кривизну. Развертывающиеся поверхности представляют частный случай ли­нейчатых поверхностей.

В группу неразвертывающихся поверхностей входят все поверхно­сти положительной и отрицательной гауссовой кривизны, как, напри­мер, поверхности вращения с криволинейной образующей, коноид,гиперболический параболоид, трансляционные поверхности, с криволинейными образующей и направляющей (и в частности эллиптиче­ский параболоид) и др. Некоторые неразвер­тывающиеся поверхности, как, например, гиперболический параболоид и коноид, представляют частный случай линейчатых неразвертывающихся поверхностей.

5. В соответствии с относительной величиной стрелы подъема оболочки раз- личаютподъемистые илинепологие обо­лочки и пологие. Критерием для отнесе­ния оболочки к той или иной группеслужит величина отношения стрелы подъема оболочкиf над перекрываемым планомк меньшему линейному размеру прямо­угольного планаа (либо диаметр круглого плана).

Принято называть подъемистыми обо­лочки, характеризуемые отношением

Рис. 11.13. Составные по­крытия из гипаров

6. Следует различатьпростые и составныеоболочки. Составные оболочки представляют сочетание нескольких про­стых оболочек в одну конструкцию покры­тия. На рис. 11.7 –11.9 показано несколько примеров составных оболочек: на рис. 11.7 изображен сомкнутый свод, составленный из трех пересекающихся цилиндрических оболочек, на рис. 11.8 – шатровое и зон­тообразное покрытия, составленные из нескольких оболочек типа «гипар», на рис.11.9 – крестовые своды, составленные из двух или четырех перекрещивающихся седловидных оболочек типа «гипар».

Рис. 11.7. Сомкнутый свод из цилиндрических оболочек

Рис. 11.8. Составные покрытия из гипаров

Рис. 11.9. Крестовые своды из гипаров