П13_14
.pdfПРИМЕР 4
Уравнение гармонического осциллятора |
|||||
ω |
2 d 2 y |
+ β |
dy |
+ y = 0 |
|
|
dt 2 |
dt |
|||
|
|
|
|
||
Описывает колебание маятника (угол отклонения от вертикали) с демпфированием. Начальные данные задают начальное значение угла и скорости
y′(0) = 0, y(0) = 1
Параметры ω = 0.5, β = 0.2 задают частоту колебаний и величину демпфирования.
Найти решение задачи Коши с помощью встроенных функций MathCAD
Пример 4. Решение с помощью Given-Odelosve
Пример 4. Сведение к системе ОДУ
y′(t) = z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
1 |
|
|
(− y − |
β |
|
′ |
|
|
2 |
|||||||
z (t ) = |
ω |
|
|
y ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 1, |
|
z(0) = 0 |
|
|
|
|||
Обозначим: u1=y(t), u2=z(t)
Решение с помощью функции rkfixed
ORIGIN := 1
u1 := 1 u2 := 0 t0 := 0 tk := 10
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
D(t ,u) := |
−u1 − β u2 |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
||
ω |
||||
U := rkfixed(u , t0 , tk , n , D)
|
1 |
|
|
|
|
|
U 2 |
0 |
|
|
|
|
|
U 3 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
|
|
U 1 |
|
|
|
Варианты методов РК
•Метод Рунге-Кутты 2-1 (двухшаговый, вариант 1, •Метод Рунге-Кутты 2-2 (двухшаговый, вариант 2,
второго порядка аппроксимации) |
|
|
второго порядка аппроксимации) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
k1 = |
f(t n , yn ), k 2 = |
f(t n + τ / 2, yn + τk1 / 2), |
|
|
|
k1 = f(t n , yn ), k 2 = f(t n + τ , yn + τk1 ), |
|
|
|
||||||||||||||||
yn+1 |
− yn |
= k |
|
, n = 0,1,... , M, y |
|
= u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
yn +1 − yn |
= |
k1 + k 2 |
, n = 0,1,2,... , M, y |
|
= u |
0 |
||||
τ |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
2 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•Метод Рунге-Кутты 3-1 (трехшаговый, вариант 1, третьего порядка аппроксимации) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
k1 = |
f(t n , yn ), k 2 = |
f(t n + τ / 2, yn + τk1 / 2), k 3 |
= f(t n + τ , yn - τk1 + 2τk 2 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
yn+1 |
− yn |
= |
|
k1 + 4k2 |
+ k 3 |
, n = 0,1,2,..., M, y |
|
= u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
τ |
|
|
|
6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•Метод Рунге-Кутты 3-2 (трехшаговый, вариант 2 третьего порядка аппроксимации) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
k1 = |
f(tn , yn ), k 2 = |
f(t n + τ / 3, yn + τk1 / 3), k3 |
= f(tn + 2τ / 3, yn + 2τk2 / 3) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
yn+1 |
− yn |
= |
|
k1 + 3k 3 |
, n = 0,1,2,..., M, y |
|
= u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
τ |
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•Метод Рунге-Кутты 4-1 (четырехшаговый, вариант 1, четвертого порядка аппроксимации)
k1 |
= |
f(tn , yn ), k2 = |
|
f(tn + τ / 2, yn + τk1 / 2), k 3 = f(tn + τ / 2, yn + τk 2 / 2) |
|||||||
k 4 |
= f(tn + τ , yn + τk3 ), |
|
|
|
|
|
|||||
yn+1 |
− yn |
= |
k1 + 2k |
2 |
+ 2k 3 |
+ k 4 |
, n = 0,1,2,..., M, y |
|
= u |
0 |
|
|
τ |
|
|
6 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•Метод Рунге-Кутты 4-2 (четырехшаговый, вариант 2, четвертого порядка аппроксимации)
k1 |
= f(tn , yn ), k2 = |
|
f(tn + τ / 4, yn + τk1 / 4), k 3 = f(tn + τ / 2, yn + τk 2 / 2) |
||||||
k 4 |
= f(tn + τ , yn + τk1 − 2τk 2 + 2τk3 ), |
|
|
|
|||||
yn+1 − yn |
= |
k1 + 4k |
3 |
+ k 4 |
, n = 0,1,2,... , M, y |
|
= u |
0 |
|
|
τ |
|
|
|
0 |
|
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||