Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

НУ

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
665.8 Кб
Скачать

Решение нелинейных алгебраических уравнений

II курс, 2 семестр, 2014

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Дано нелинейное алгебраическое уравнение F(x)=0

Решить уравнение: найти такое x* R: F(x*)=0.

Значение x* называют корнем уравнения.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

y

y=F(x)

x1*

x *

x3* x

 

2

 

Корнями уравнения являются точки x1*, x2*, x3*, в которых функция F(x) пересекает ось x.

УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ КОРНЯ

на отрезке [a,b]

ЕСЛИ: F(x) непрерывна, F(a) F(b)<0 (т.е. на концах интервала функция имеет разные знаки).

ТОГДА: внутри отрезка [a, b] существует хотя бы один корень уравнения F(x)=0.

Условие единственности корня на отрезке [a,b]:

Корень будет единственным, если F (x) не меняет знак на отрезке [a, b] (т.е. F(x) – монотонная функция)

Отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения - интервал изоляции

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

точные (аналитические) → конечное число действий

приближенные (итерационные) → процесс нахождения решения бесконечен

Приближенным решением называется бесконечная последовательность {xn}, такая, что

lim xn x*

n

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ:

lim xn x*

 

 

n

Предел: (сколь угодно малого), найдется такое N, что при n > N, |xn x*|< .

xn - последовательные приближения, или итерации.

Заданное малое число - точность метода,

N количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью .

ОБЩИЕ ЭТАПЫ

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Задать начальное приближение x0

Найти следующее приближение

xn+1= (xn, xn—1, …, x1, x0)

Не Выполвыполнено нено

Условие

точности

решения

Итерационный цикл

ПРОВЕРКА ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ:

1.|xnx*|<

2.F(xn) <

3.|xn+1xn|<

Прежде, чем решать уравнение приближенно, его надо исследовать, т.е. найти количество корней и их расположение (начальное приближение)

СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ:

АНАЛИТИЧЕСКИЙ:

 

поиск экстремумов функции F(x), участков

возрастания и убывания, поведение на

ГРАФИЧЕСКИЙ:

 

построение графика функции F(x) и

определение интервалов, на которых F(x)

меняет знак

 

 

1

 

 

 

 

y

 

 

 

 

0.5

 

F(a)

 

 

 

 

 

 

0

 

x*

b

x

 

 

 

 

2.5

a

3

3.5

4

 

 

 

 

 

 

F(b)

 

-0.5

 

 

 

 

ТАБЛИЧНЫЙ : построение таблицы x, F(x) и

определение интервалов смены знака F(x)

x

F(x)

-10

-1619

-9

-1231

-8

-909

-7

-647

-6

-439

-5

-279

-4

-161

-3

-79

-2

-27

-1

1

0

11

1

9

2

1

3

-7

4

-9

5

1

6

29

7

81

8

163

9

281

10

441

Графический метод отделение корней нелинейного уравнения

Построим график функции и найдем интервалы изоляции

ПРИМЕР 1: Дано алгебраическое уравнение

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

f(x)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

3

2

1

 

 

 

3

0

1

2

3

 

 

x

 

2

x3 3x2 3 0

Интервалы изоляции:

[-3, -2] [-2. -1], [0, 1]

Уточнение корней

Использовать функцию MathCAD root,

Функция root может иметь два или четыре аргумента:

root( f (x), x) root( f (x), x, a,b)

f(x) – имя функции, задающей уравнение,

x–переменная, относительно которой решается уравнение

a, b – границы интервала локализации корня

Можно искать и вещественные, и мнимые корни

С помощью функции root найти все корни из ПРИМЕРА 1

Пример 2 (начало)

Дано алгебраическое уравнение x3 6x2 21x 52 0

Строим график функции

f(x)=x3-6x2+21x+52

Уравнение должно иметь 3 корня

Один корень вещественный, интервал изоляции [-2, 0]

Два корня комплексные

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.