НУ
.pdfПример 3 (продолжение)
Зададим уравнение
a0 5 |
a1 21 |
a2 6 |
a3 1 |
f(x) a3 x3 a2x2 a1 x a0
Вычислим первый корень
x 2 |
x1 root (f(x) x) 0.223 |
f(x1) 5.755 10 13
Пример 3 (конец)
Ищем второй корень (комплексный)
x 1 |
|
|
f(x) |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 root |
|
|
|
x |
3.112 3.565i |
|
|
|
x x1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
14 f(x2) 4.263i 10
Ищем третий корень (комплексный)
x 1 1
x3 root |
|
f(x) |
|
|
|||
(x x1) (x x2) |
|||
|
f(x3) 1.421i 10 14
|
3.112 3.565i |
x |
|
|
|
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дано: уравнение F(x)=0, интервал изоляции [a,b], точность
1.Метод деления отрезка пополам (дихотомии)
1.Проверяем интервал изоляции: F(a)·F(b)<0
2.Найдем середину отрезка c=(a+b)/2
3.Отбрасываем «лишнюю» половину:
Если F(a) F(с)<0 (корень попал на отрезок [a, c]), то b=c Если F(a) F(с)>0 (корень попал на отрезок [c, b]) , то a=c
4. Проверяем критерий точности: если |b – a|> , то переход на пункт 2 иначе конец
a |
c |
b |
a |
c |
b |
|
a |
|
|||
|
b |
|
|
|
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Дано: уравнение F(x)=0, интервал изоляции [a,b], точность
Метод деления отрезка пополам (дихотомии)
Алгоритм: Начало
|
нет |
|
|
|
Ввод а, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(a)*F(b) > 0 |
|
да |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k:=0
abs(b-a) > eps
С:=(a+b)/2
‘Метод сошелся,
k=’, k,’c=‘,c
F(a) F(c)>0
b:=c |
|
|
a:=c |
|
Конец
k:=k+1
Пример:
Найти корень уравнения F(x)=x2 – 9 = 0 методом деления отрезка пополам с точностью = 0.05.
Определяем интервал изоляции корня: [1, 4]. Ищем первое приближение x1=(1+4)/2=2.5.
Проверим, какому отрезку [1, 2.5] или [2.5, 4] принадлежит корень: F(1) F(2.5)=(–8)(–2.75)>0, F(4) F(2.5)=7 (–2.75)<0.
Делим пополам новый отрезок [2.5, 4]: x2=(2.5+4)/2=3.25.
Далее: F(3.25) F(2.5)<0, F(3.25) F(4)>0, x3=(2.5+3.25)/2=2.875;F(3.25) F(2.875)<0, F(2.875) F(2.5)>0, x4=(2.875+3.25)/2=3.063; F(3.063) F(2.875)<0, F(3.063) F(3.25)>0, x5=(2.875+3.063)/2=2.969; F(3.063) F(2.969)<0,F(2.969) F(2.875)>0, x6=(2.969+3.063)/2=3.016;
Последнее значение является корнем, поскольку длина отрезка
3.063 – 3.016 = 0.047 < 0.05.
Программа метода дихотомии
|
f( 3)f(2) 51 |
|
f( 2)f( 1) 1 |
f(0)f(1) 3 |
|
|||||||
|
dihotomia(a b eps ) |
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
eps |
|
|
|
||||
|
|
|
while |
b a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
c |
a b |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a c |
if |
f(a)f(c) 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
b c |
otherwise |
|
|
|
||||
|
|
|
|
k k 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
14 |
|
|
|
|
|
17 |
||||
dihotomia( 3 2 0.0001) |
|
|
|
|
|
dihotomia( 2 1 0.00001) |
|
|
||||
|
|
2.532 |
|
|
|
|
1.347 |
|||||
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dihotomia(0 1 0.00001) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0.879 |
|
|
|
|
|
|
Метод Ньютона (касательных)
Дано: уравнение F(x)=0, начальное приближение x0, точность
Уравнение касательной, проходящей через
точку (x0, F(x0)): |
F(x0 ) F (x0 )(x x0 ) |
y |
|
|||
y |
y=F(x) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Следующее приближение x1 - это точка |
|
|
||||
пересечения касательной и оси Х: |
|
|
|
|||
x1 x0 |
|
F (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
x* |
x |
||
|
|
|
|
|||
|
|
F (x0 ) |
F (x ) |
|
x3 x2 x1 |
x0 |
|
|
xk |
|
|||
В общем виде: xk 1 |
k |
|
|
|
||
|
Критерий остановки вычислений: |F(xк)|< |
|||||
|
|
|
F (xk ) |
|||
|
|
|
|
|
|
Неудачный выбор начального приближения: F’(x0)=0
Если начальное приближение выбрано далеко от корня, то может получиться расходящийся итерационный процесс. В этом случае x0 надо выбрать ближе к искомому корню.
Выбор начального приближения: F(x0)· F’’(x0) >0
Метод Ньютона (касательных)
Блок-схема
Начало
Ввод X0
k:=0
abs(F(x0) > eps
‘Метод сошелся, k=’, k,’ корень=‘,X1
Конец
x1 |
x0 |
|
F (x0 ) |
|
F (x0 ) |
||||
|
|
|
x0:=x1
k:=k+1
Программа метода Ньютона
f (x) x3 3 x2 3
f1(x) d f(x) 3 x2 6 x dx
Newton (x eps ) |
|
k 0 |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
eps |
|||
|
|
while |
f(x) |
|
|||
|
|
|
x x |
f(x) |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
f1(x) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k k 1 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
k |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
Метод простых итераций
Дано: уравнение F(x)=0, интервал изоляции [a,b], точность
|
F(x)=0 |
x= (x) |
― равносильное уравнение |
|||
|
Выбираем начальное приближение x0 [a, b], |
|
|
|
||
|
Следующие приближения вычисляем по формуле |
xk+1= (xk) |
||||
|
Искомый корень – предел последовательности: |
|
lim xk |
x* |
||
|
|
|
|
|
k |
|
|
Геометрический смысл метода простой итерации |
|||||
y |
> 0 |
y= (x) |
y |
< 0 |
|
|
|
|
|||||
|
y=x |
|
|
|
|
|
x0) |
|
|
y= (x) |
|
|
|
x1) |
|
x |
x1 x3 |
|
x4 |
x2 x0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x* |
x2 |
x |
1 |
x0 |
|
|