Математика

Лекции 13 и 14

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§1. ПЛОСКОСТЬ

Теорию плоскости в трехмерном пространстве легко построить по аналогии с прямой на плоскости. Как и в случае прямой, нормальным вектором плоскости называется произвольный вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Имеет место основная теорема о плоскости в R3.

Теорема 1. Между множеством всех плоскостей в R 3 и множеством всех уравнений первой степени с тремя неизвестными существует взаимно однозначное соответствие.

Ее доказательство аналогично доказательству основной теоремы о прямой в R2. Заметим только, что когда плоскость P зафиксирована нормальным

Выражение (2) называют общим уравнением плоскости.. Исследуем его

1.Если D=0, то Ax+By+Cz=0 и O(0,0) P

2.Если A=0, то n =(O,B,C) P и P (Ox).

3.Если A=0, D=0, то (комбинируем 1и 2) Ox P.

4.Если A=0, B=0, то n =(0,0,C) P и P xOy.

5.Если A=0, B=0, D=0, то (комбинируем 1и 4) P ≡ xOy.

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Пусть теперь плоскость P отсекает от осей координат Ox, Oy, Oz, отрезки соответственно a,b,c, т.е. проходит через точки M1(a,0,0), M2(0,b,0), M3(0,0,c)

61

(рис.2.). Поскольку при этом D ≠ 0 (O(0,0,0) P), то после деления обеих частей уравнения (2.20) на D, имеем

M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) , M3(x3,y3,z3).

Решение. Пусть M(x,y,z)-произвольная точка P. Построим векторы

Пример. 2. Найти расстояния d от точки M0(x0, y0,z0) до плоскости P, уравнение которой имеет вид Ax+By+Cz+D=0.

Решение. Рассуждая также, как в случаи о расстоянии от точки до прямой на плоскости, и используя рис.3, находим

62

Проверка условий параллельности или перпендикулярности плоскостей теперь сводится к проверке соответствующих условий для их нормальных векторов.

§2.ПРЯМАЯ В R3.

Прямую в пространстве можно задать, как пересечение двух плоскостей, т.е. с помощью СЛАУ-2

при условии, что вектор (A1,B1,C1)не параллелен вектору (A1,B1,C1). Естественно, туже прямую можно задать и другой парой плоскостей. Такие уравнения называются общими.

Рассмотрим другое уравнение прямой, причем в некоторых случаях используем понятие направляющего вектора, т.е. произвольного нулевого вектора, коллинеарного прямой.

Запишем формулу, выражающую путь, пройденный точкой при равномерном прямолинейном движении

( sv,s0 v ),t-время. Для выражения (4) имеем

или

Уравнения (5) называют параметрическими. Здесь роль направляющего вектора играет вектор скорости точки. Исключая t из (5), получаем

M1M2 =(x2-x1,y2-y1,z2-z1) L, то, приняв вектор M1M2 за направляющий для L, из (6) получаем

63

-уравнение прямой, проходящей через две точки. Двойное равенство (6)

можно понимать и так

откуда

Каждое из уравнений (7) есть уравнение плоскости, параллельной соответственно координатным осям Oz и Oy. Таким образом, канонические уравнения (6), как и общие (3), определяют прямую в пространстве как пересечение двух плоскостей, параллельных координатным осям.

Если имеем две прямые L1 и L2 с направляющими векторами s1 L1 и s2 L2, то угол между ними определяют так:

(L1^,L2 )=( s1 ^ s2 ).

§3. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В R3

Рассмотрим ряд комбинированных примеров на прямую L и плоскость P. Считаем, что прямая задана параметрически, а плоскость - общим уравнением, причем

(x0,y0,z0) L, s =(a,b,c) L, n =(A,B,C) P.

Пример.1. Найти угол между прямой и плоскостью.

Рис. 4. Пример.2. найти точку пересечения прямой и плоскости.

Решение. Для нахождения такой точки составим систему из уравнений (2) и (5), подставляя значения x, y, z из (5) в (2), получим t1, отвечающее точке M1=L I P и с помощью (5) установим ее координаты.

64

Приведем алгоритм решения задачи.

очевидно, что s2 =(3,-1,4).

2.Выберем произвольную точку M1 L.

3.Проведем плоскость P, удовлетворяющую условиям M P, P L2 , т.е. n = s2

4.Пересечем L1 и L2 перпендикулярной им плоскостью и найдем O=P I L2.

5.Найдем d(L1, L2)=d(M,O).

Реализация алгоритма.

1. Так как n1 =(1,1,-0,5) P1, n2 =(1,-1,-1) P2 и

Имеем s1 = s 2 и переходим, к примеру, 2. 2. Пусть для L1 x=0, тогда

y − 0,5z = 5,

− y − z = 22.

Отсюда z=-18, y=-4, т.е. M(0,-4,-18) L1.

3.Воспользуемся уравнением A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

Имеем 3(x-0)+(-1)(y+4)+4(z+18)=0 или 3x-y+4z+68=0.

Нашли уравнение плоскости P.

4.Найдем точку O. Используем систему

3x − y + 4z + 68 = 0,

= −

x 3t 7,

y = −t + 5,

z = 4t + 9.

Из первых двух уравнений имеем 3(3t-7)-(-t+5)+4(4t+9)+68=0, откуда t= -3.

Подставляя t в третье и четвертое уравнения, найдем y и z. Таким образом, O(-16, 8,-3).

5. d(M,O)= (−16 − 0)2 + (8 + 4)2 + (−3 + 18)2 = 25.

65

z

z

y

y

x

Конус (рис.10)

x2 + y2 − z2

=0.

a2 b2 c2

Уравнения вида F(x,y)=0 в R3 задают цилиндрические поверхности, причем уравнение F(x,y)=0 на плоскости определяет направляющую такой поверхности, а ее образующей является прямая, параллельная оси Oz. Например, эллиптический цилиндр (рис. 11) имеет уравнение

x2 + y2 =1, (x,y) R3. a2 b2

Не только цилиндрические и канонические поверхности можно создавать перемещением линейных образующих. Это касается однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

Очевидно, любая прямая L

лежит на гиперболическом параболоиде

z = x2 − y2 , a2 b2

поскольку каждая точка L удовлетворяет последнему уравнению. Поменяв знаки перед y в уравнениях L, можно получить еще одно семейство линий, лежащих на этом параболоиде,

Поверхности, имеющие указанные свойства, называются линейчатыми..

68

Практическое занятие 1

Матрицы и действия над ними

69

10.Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты которых равны нулевой

Самостоятельная работа

1. Вычислить линейные комбинации матриц A и B :

70