Математика

Данная запись является параметрическим решением системы.

Придавая различные значения параметрам t1, t2, …, tn-m получим всевозможные решения системы.

Так как количество параметров – n-m, размерность решения системы уравнений равна n-m.

Введем вектор - строку параметров T=(t1, t2, …, tn-m).

Рассмотрим систему вектор -строк:

e1=(1, 0, 0, …, 0, 0),

e2=(0, 1, 0, …, 0, 0),

…

en-m=(0, 0, 0, …, 0, 1)

размерности n-m. Их количество n-m, и они линейно независимы.

Любой вектор T может быть представлен линейной комбинацией векторов e1, e2, …, en-m.

Запишем решения X1, X2, …, Xn-m системы соответствующие векторам e1, e2, …,

en-m

31

Набор решений X1, X2, …, Xn-m однородной системы уравнений называется

фундаментальной системой решений линейной системы уравнений

Теорема 1. (о решении однородной системы уравнений): Любое решение однородной линейной системы уравнений может быть представлено в виде линейной комбинацией векторов фундаментальной системы решений:

Xоднород=C1X1+C2X2+…+Cn-mXn-m.

Вернемся к решению неоднородной системы уравнений. По аналогии запишем ее параметрическое решение.

Положим все параметры равные нулю и получим частное решение системы независящее от параметров Xчастн=(b1, b2, …, bm, 0, …, 0).

32

Теорема 2.(о решении неоднородной системы уравнений): Любое решение неоднородной линейной системы уравнений может быть представлено в виде суммы линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений и частного решения системы: X= Xчастн+C1X1+C2X2+…+Cn-mXn-m.

Ввекторном виде решение системы линейных уравнений может быть записано

ввиде:

§ 2. Экономическое приложение систем уравнений

Пример 1. Предположим, что некоторое предприятие выпускает три вида продукции, при этом, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице 1. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождения полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.

Таблица 1

33

Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1 , x2 и x3 . Тогда, при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно записать балансовое соотношение, которое образует систему трех уравнений с тремя неизвестными

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составляют по каждому виду соответствие (в условных единицах):

x1 = 150, x2 = 250, x3 = 100.

Пример 2. На предприятие с работниками четырех категорий привезли заработную плату в купюрах следующего достоинства: по 100 рублей – 1850 купюр, по 50 рублей – 230 купюр, по 10 рублей – 250 купюр, по 1 рублю – 740 купюр. Заработная плата работника первой категории составляет 962 рубля, второй категории – 713 рублей, третьей категории – 452 рубля, четвертой категории – 261 рубль. Определить, сколько сотрудников каждой категории работает на предприятии, если каждому сотруднику выдали заработную плату минимальным числом купюр.

Решение. Условие об оплате минимальным числом купюр является основным в определении количества купюр разного достоинства, выданных сотрудникам разных категорий. Исходя из величины заработной платы по категориям, однозначно определяем таблицу распределения купюр.

Пусть x1 , x2 , x3 , x4 - количество работников каждой категории соответственно.

Тогда по данным таблицы 2 составляем уравнения “баланса”, которые образуют систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

Эту систему удобно решать методом Гаусса, для чего выпишем расширенную матрицу системы, предварительно переместив для удобства первое уравнение на последнее место. Прямой ход метода последовательно меняет вид матрицы.

34

Лекция 7

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

Различают величины скалярные и векторные. Величина, которая полностью характеризуется одним числовым значением, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, называется скалярной величиной или скаляром. Таковы, например, масса тела, температура среды и т.п.

Величина, которая кроме числового значения характеризуется еще и н а - правлением, называется векторной величиной или вектором. К числу их относятся сила, перемещение, скорость. Вектор определяется числом и направлением.

Векторы будем обозначать a или a. Геометрически вектор изображается направленным отрезком пространства (рис.1); при этом используется обозначение a = AB , где А — начальная точка отрезка, а точка В — концевая. В дальнейшем, векторы будем рассматривать как направленные отрезки.

Под модулем (длиной) вектора a a = a

Два вектора a и b считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Мы условимся не различать равные векторы и, таким образом, приходим к понятию свободного вектора. Иными словами, свободный вектор допускает перенос его в любую точку пространства, при условии сохранения длины и направления. В частности, для свободных векторов всегда можно обеспечить общую начальную точку их.

§ 2. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Сумма векторов

Суммой нескольких векторов, например, a, b, c, d называется вектор s = a + b + c + d ,

по величине и направлению равный замыкающей пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах.

Для случая двух векторов a и b (рис.2) их суммой s является диагональ

36

параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма).

Так как в любом треугольнике длина одной стороны не превышает суммы длин двух других сторон, то из рис. 2 имеем

a + b ≤ a + b

т.е. модуль суммы двух векторов не превышает суммы модулей этих векторов. Для случая трех векторов a, b, c, (рис.3) их суммой s является диагональ ОМ

параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Легко проверить, что для векторного сложения справедливы следующие свойства:

1) переместительное свойство:

a + b = b + a ,

т. е. векторная сумма не зависит от порядка слагаемых; 2) сочетательное свойство:

a + (b + c)= (a + b)+ c = a + b + c ,

т. е. сумма трех (и большего числа) векторов не зависит от порядка расстановки скобок.

Рис.4

Для каждого вектора a = OA (рис.4) существует противоположный вектор − a = OA′ , имеющий ту же длину, но противоположное направление. По правилу параллелограмма имеем a + (− a)= 0 , где 0 - нуль-вектор. Легко проверить,

что a + 0 = a .

Разность векторов

Под разностью векторов a и b (рис.5) будем понимать вектор

37

(рис.2), их разностью является соответственно направленная вторая диагональ параллелограмма.

Рис.5

Легко проверить, что справедливо следующее правило вычитания: a − b = a + (− b)

Умножение вектора на скаляр.

1)совпадает с направлением вектора a , если k > 0;

2)противоположно ему, если k < 0;

3)произвольно, если k = 0.

Рис.6

Нетрудно убедиться, что данная векторная операция обладает следующими свойствами:

1)(k + l)a = ka + la,

2)k(a + b)= ka + kb,

3)k(la)= (kl)a

4) 1* a = a, (− 1)a = −a, 0* a = 0 ,

(k, l - скаляры).

Пример 1. (a + 2b)− (3a − b)= −2a + 3b

Если ненулевой вектор a разделить на его длину a = a , то мы получим

единичный вектор e , так называемый орт, того же направления: e = a / a Отсюда имеем стандартную формулу вектора: a = ae.

38

§ 3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Два вектора a и b называются коллинеарными, если они расположены или на параллельных прямых, или же на одной и той же прямой.

Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно считать, что

Тогда можно сказать также, что векторы a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда после приведения их к общему началу они лежат в одной плоскости.

По смыслу определения тройка векторов, среди которых имеется хотя бы один нулевой вектор, компланарна.

Теорема 2. Три ненулевых вектора a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией других, т. е., например c = ka + lb .

Доказательство. 1) Пусть векторы a, b и c компланарны, расположены в плоскости Р (рис.7) и имеют общую точку приложения О.

Предположим сначала, что эти векторы не все

попарно коллинеарны, например, векторы a и b неколлинеарны. Тогда, производя разложение вектора

Рис.7

39

Если же векторы a, b, c попарно коллинеарны, то можно написать

c = ka = ka + 0b ,

и таким образом, снова вы полнено условие теоремы.

2) Обратно, если для векторов a = OA, b = OB и c = OC (рис. 7) выполнено условие теоремы, то, на основании смысла соответствующих векторных операций, вектор c расположен в плоскости, содержащей векторы a и b , т. е. эти векторы компланарны.

40