Математика

Заметим, что если в тройке некомпланарных векторов a , b , c переставить два вектора, то она изменит свою ориентацию, т. е. из правой сделается левой или наоборот.

В дальнейшем правую тройку мы будем считать стандартной.

Определение. Под векторным произведением двух векторов a и b

понимается вектор c = a × b = [a, b],

для которого:

1) модуль равен, площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т. е.

c = c = ab sin ϕ

где ϕ = (a, b) (0 ≤ ϕ ≤ π ) (рис. 2);

2) этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен плоскости построенного на них параллелограмма), т. е.

c a и c b ;

3) если векторы неколлинеарны, то векторы a , b , c образуют правую тройку векторов.

Укажем основные свойства векторного произведения.

1) При изменений порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е.

b × a = −(a × b).

Действительно, при перестановке векторов a и b площадь пост-

роенного на них параллелограмма остается неизменной, т. е. b × a

= a × b . Однако тройка векторов b, a, a× b является левой.

очевидно.

Таким образом, векторное произведение двух векторов не обладает

переместительным свойством.

2) Векторный квадрат равен нуль-вектору, т. е. a × a = 0.

Это — очевидное следствие свойства 1).

51

Отсюда

abc = ±V ,

т. е. смешанное произведение трех векторов равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку.

Справедливы следующие основные свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е.

abc = bca = cab

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда П, ни ориентация его ребер.

2) При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

bac = acb = cba = −abc .

Это следует из того, что перестановка соседних множителей, сохраняя объем параллелепипеда, изменяет ориентацию тройки векторов, т. е. правая тройка переходит в левую, а левая — в правую.

С помощью смешанного произведения получаем необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов a , b , c :

abc = 0

54

Лекция 12

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

Аналитическая геометрия – раздел математики, в котором геометрические задачи решаются средствами алгебры на основе метода координат и введения произвольной (переменной) точки объекта, предложенных Декартом.

§1. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Прямая

Рассмотрим несколько уравнений с двумя неизвестными: 1) y − 2x + 1 = 0, 2) y = x2 − 1, 3) x2 + y2 = 0, 4) x2 + y2 = −1. Уравнениям 1) и 2) отвечают линии (прямая и парабола), уравнению 3) отвечает лишь одна точка, а 4) – ни одна точка. Условимся, что в случае 3) соответствующая линия вырождается в точку (в данном случае - окружность нулевого радиуса), а уравнению 4) – мнимая линия (в данном случае – мнимая окружность). Отсюда делаем вывод: между множеством действительных или мнимых линий плоскости и множеством уравнений с двумя неизвестными существует взаимооднозначное соответствие.

Определение. Выражение F(x, y) = 0 называется уравнением данной линии, если ему удовлетворяют все точки, лежащие на данной линии и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая данной линии.

Простейшей в определенном смысле является прямая. Ориентацию

нормальный вектор и точка определяют конкретную прямую и наоборот, для произвольной прямой можно указать хотя бы одну точку, через которую она проходит, и нормальный вектор этой прямой. Эти соображения существенно используются при доказательстве основной теоремы о прямой на плоскости. Между множеством всех прямых плоскости и множеством всех уравнений первой степени с двумя неизвестными существует взаимно однозначное соответствие.

55

перпендикулярности векторов

Рис.1

(M L) (M 0 M n) (n M 0 M = 0) (A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0)

Уравнение Ax + By + C = 0

называется общим уравнением прямой на плоскости. Исследуем данные уравнения:

−A = k , − C = b . B B

Рассмотрим другие виды уравнений прямой.

Определение. Пучком прямых с центром в данной точке называется множество всех прямых плоскости, проходящих через эту точку.

56

Пусть M 0 (x0 , y0 ) – центр пучка (рис. 2). Тогда уравнение произвольной

прямой данного пучка имеет вид

A(x − x0 )+ B(y − y0 ) = 0

Если B ≠ 0 (L ⁄ OY), то y − y0 = − A (x − x0 ) или

B

y − y0 = k(x − x0 )

Если B ≠ 0 , то x − x0 = 0 или x = x0

Совокупность уравнений

называют уравнениями пучка прямых.

Пусть теперь M (x, y) L – произвольная точка L . Составим уравнение L , для чего построим векторы M1M 2 = (x2 − x1 , y2 − y1 ) и M1 M = (x − x1 , y − y1 ) . Точка M L тогда и только тогда, когда MM1 M 2 M1 , т.е. когда (рис. 3)

Это и есть искомое уравнение, поскольку оно связывает координаты произвольной точки L и заданные числа.

В случае прямых, параллельных координатным осям (нуль в знаменателе), мы все-таки получаем уравнение прямой, полученной в виде . Для этого следует воспользоваться основным свойством пропорции.

Это – уравнение прямой в отрезках.

Рассмотрим взаимное размещение двух прямых (рис. 5).

57

Для параллельных и перпендикулярных прямых tgϕ = 0 , tgϕ = π , т.е. 2

k1 − k2 = 0 и 1+ k1k2 = 0 соответственно. Отсюда, условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно выглядят так

k1 = k2 , k2 = − 1 k1

§2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Прямая – это алгебраическая линия первого порядка. Что касается алгебраических линий второго порядка, то к ним относятся окружность, эллипс, парабола и гипербола (не считая случаи их вырождения).

Общий вид уравнения линий второго порядка:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

A,B,C,D,E,F R,

где хотя бы один из коэффициентов A, B,C отличен от нуля.

Окружность

Определение. Окружность – множество точек M плоскости, равноотстоящих от данной точки M 0 , называемой центром; d(M 0 , M ) – называется радиусом окружности.

Составим уравнение окружности, если даны M 0 (x0 ,y0 ), M (x, y),

MM 0 = R . Тогда имеем

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2

Если M 0 (0,0), то имеем каноническое уравнение окружности

x2 + y2 = R2 .

Раскрывая скобки, приведем уравнение к виду:

58

x2 + y2 − 2xx0 − 2yy0 + (x0 2 + y0 2 − R2 )= 0

Таким образом, признаки, по которым из общего уравнения линии второго порядка можно получить уравнение окружности, это A = C и B = 0 .

Эллипс

Определение. Эллипс – это множество точек плоскости, которое в некоторой прямоугольной системе координат удовлетворяет уравнению

Это каноническое уравнение эллипса. Его форму можно установить способами дифференциального исчисления.

Основное геометрическое свойство эллипса заключается в том, что сумма расстояний от данной точки M до двух точек плоскости F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная.

расстояние, - эксцентриситет.

Величина эксцентриситета ε оценивает степень сплющенности эллипса.

Гипербола

Определение гиперболы аналогично определению эллипса, ее каноническое уравнение имеет вид

В формулировке основного геометрического свойства гиперболы нужно слова «сумма» (в случае эллипса) заменить словом «модуль разности». Это

59

свойство можно проверить также, как и в случае эллипса, приняв во

Определение. Асимптота данной кривой – это прямая, расстояние до которой от произвольной точки кривой стремится к нулю, когда указанная точка кривой стремится к бесконечности.

Парабола

Определим параболу уравнениями

y2 = 2 px, x2 = 2 py, p R, q R.

Основное геометрическое свойство параболы то, что она представляет собой множество точек плоскости, равноотстоящих от некоторой точки, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой.

y2 = 2 px .

Вырожденные случаи параболы имеем, когда ее ветви складываются в положительную (p>0) или отрицательную (p<0) части оси OX или разгибаются до оси OY .

60