34

Таким образом, изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении из одного положения в другое, равно сумме работ всех сил, действующих на точку на этом перемещении.

Т2 −Т1 = ∑Аi .

4.ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Пусть механическая система, состоящая из n точек, переходит из одного положения в другое. На каждую точку системы действуют внешние и внутренние силы (рис.22). Запишем теорему об изменении кинетической энергии для точки Mi механической системы.

Т2i −Т1i = AiE + AiJ .

Просуммируем это равенство по всем точкам системы

∑T2i −∑Ti1 = ∑AiE +∑AiJ .

Сумма кинетических энергий всех точек системы называется кинетической энергией механической системы.

T2 = ∑T2i - кинетическая энергия системы после перемещения, T1 = ∑T1i - кинетическая энергия системы до перемещения, т.е.

T2 −T1 = ∑AiE +∑AiJ .

Таким образом, при перемещении механической системы из одного положения в другое изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех внешних и внутренних, действующих на систему на этом перемещении.

Для неизменяемой механической системы, состоящей из абсолютно твердых тел, связанных нерастяжимыми связями (нитями, тросами, канатами и т.д.), сумма работ внутренних сил на любом перемещении равна нулю, а теорема об изменении кинетической энергии такой системы имеет вид

T2 −T1 = ∑AiE .

5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ ВРАЩАТЕЛЬНОМ И ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ

ДВИЖЕНИИ

Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, в которой расстояние между точками остается неизменным. Кинетическую энергию твердого тела будем находить, исходя из определения кинетической энергии механической системы, т.е. как сумму кинетических энергий всех точек.

35

T= ∑m2iυi2

1)Поступательное движение

При поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела равны, т.е.

υ1 =υ2 = ... =υc = ... =υn ,

где υc - скорость центра масс тела.

Учитывая это, получаем для кинетической энергии тела

T = ∑m2iυi2 = ∑m2iυc2 =υ2c2 ∑mi

сумма масс всех точек тела – это его масса M .

Таким образом, при поступательном движении кинетическая энергия твердого тела равна

T= М2υc2 .

2)Вращательное движение

Пусть тело массы М вращается вокруг оси Z с угловой скоростью ω (рис. 23). Скорость точки Mi при вращательном движении определяется по

формуле υi =ωhi ,

где hi - расстояние от точки до оси вращения. Учитывая это, кинетическая энергия может быть вычислена следующим образом

T = ∑m2iυi2 = ∑miω22hi2 = ω22 ∑mi hi2 .

Согласно определению момента инерции твердого тела относительно

оси ∑mi hi2 = J z .

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении определяется по формуле

Т= Jz2ω2 .

3)Плоско-параллельное движение

Тело массы M совершает плоское движение. Точка C - центр масс плоской фигуры.

Точка P - мгновенный центр скоростей (рис. 24).

Плоское движение твердого тела можно рассматривать как совокупность мгновенных вращений вокруг мгновенных центров скоростей, т.е. в каждый момент времени кинетическую энергию можно рассматривать как кинетическую энергию вращательного движения относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей

Т = J zр2ω2 ,

37

где J zp - момент инерции тела относительно оси, проходящей через мгновен-

ный центр скоростей перпендикулярно плоскости фигуры. Применяя теорему Гюйгенса о моментах инерции относительно парал-

лельных осей и обозначив расстояние от центра масс до мгновенного центра скоростей буквой d, получим

Jzp = J zc + Md 2 ,

где Jzc - момент инерции тела относительно центральной оси,

т.е. кинетическая энергия плоскопараллельного движения равна сумме кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и энергии вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Т=Тпост. +Твращ.

5.1.Пример решения задачи на теорему об изменении энергии механической системы

Содержание задачи

Система тел А, В,С,D движется из состояния покоя под действием сил тяжести. Определить скорость тела А в тот момент времени, когда оно пройдет путь s, учитывая трение скольжения тела А. Качение тел происходит без проскальзывания. Нити нерастяжимы и невесомы. Дополнительно определить ускорение тела А и натяжение нити.

Схемы механических систем в начальном положении для каждого варианта задачи представлены на страницах 38, 42, а исходные данные и искомые величины – в табл. 3.

43

Т а б л и ц а 3