45

Схема механической системы

Найти: VA , aA ,T .

Решение

1. Изобразим на схеме механической системы (рис. 26) все внешние силы:

PA , N A , Fтр. , PB , NB , PC , NC .

2. Выразим все необходимые линейные и угловые скорости через искомую скорость VA .( рис.26)

VV

ωB = rA = RB ; B B

VB = RB VA ; rB

T1 = mVA2 +1,125mVA2 +0,75mVA2 = 2,875mVA2 .

4.Определим сумму работ всех внешних сил на заданном перемещении s.

Так как перемещения точек изменяются пропорционально их скоростям,

то

SC = RB S

2rB

∑AiE =1,72mqS−0,1mqS−0,5mqS=1,12mqS.

Поскольку значение суммы работ всех внешних сил положительно, фактическое направление скорости VA совпадает с указанным на рис.26.

5. Найдем значение скорости VA из формулы T1 −T0 = ∑AiE

2,875mVA2 =1,12mqS

48

6. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

6.1. Связи и их уравнения

Изучение элементов аналитической механики мы начнем с более подробного рассмотрения связей.

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена. Тела, ограничивающие движение точки, называются связями. Пусть связь представляет собой поверхность некоторого тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, называемому уравнением связи:

f (xi , yi , zi )= 0.

Системы различают свободные и несвободные.

Система материальных точек называется свободной, если все входящие в нее точки могут занимать произвольные положения и иметь произвольные скорости. В противном случае система называется несвободной.

6.2. Классификация связей

Связи классифицируются по следующим признакам:

1)стационарные и нестационарные;

2)голономные и неголономные;

3)удерживающие и неудерживающие.

Стационарными называются такие связи, уравнения которых не со-

держат время t в явном виде. Уравнение стационарной связи имеет вид: f (xi , yi , zi )= 0.

Связи, которые описываются уравнениями, содержащими время t явно, называются нестационарными. Аналитически они выражаются уравнением

Голономными связями называются связи, не накладывающие ограничения на скорости точек системы. Выше указанные связи являются также и голономными.

Связи, накладывающие ограничения не только на координаты, но и на скорости точек системы, называются неголономными. Их аналитическое выражение в общем случае имеет следующий вид

f (t, xi , yi , zi , x&i , y&i , z&i )= 0

49

Механические системы, подчиненные голономным связям, называются голономными системами. Если же в числе связей имеются неголономные, то системы называются неголономными.

Классическим примером движения неголономной системы может служить качение твердого шара по шероховатой поверхности (например, бильярдного шара).

Удерживающими связями называются связи, которые не допускают перемещений, в результате которых точки системы могли бы освободиться от связи.

Примером удерживающей связи является первый пример. Другим примером могут служить две параллельные плоскости, между которыми происходит движение шарика.

Для удерживающей связи уравнение дается равенством вида f (t, xi , yi , zi , x&i , y&i , z&i )= 0.

Удерживающие связи иногда называются двухсторонними связями. Связи, допускающие перемещения, в результате которых точки системы

могут освободиться от связи без ее разрушения, называются неудерживающими. Иногда такие связи называют односторонними. Уравнение неудерживающей связи имеет вид неравенства

f (t, xi , yi , zi , x&i , y&i , z&i )≤ 0.

Примерами неудерживающих связей являются второй и третий примеры. Другим примером такой связи может служить одна плоскость, по которой движется шар.

6.3. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Идеальные связи

Представим себе какое-либо несвободное тело, например, куб, лежащий на плоскости. Дадим мысленно этому кубу какое-либо бесконечно малое перемещение. Вообразим, например, что мы немного приподняли его над плоскостью; при таком перемещении связь куба с плоскостью будет нарушена. Но мы можем дать кубу и такое воображаемое бесконечно малое перемещение, которое не нарушит связи; таким перемещением является любое перемещение по плоскости.

Итак, возможными перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.

В нашем примере для куба возможным перемещением является всякое воображаемое бесконечно малое перемещение его вдоль плоскости.

Возможные перемещения точек механической системы рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. Поэтому криволинейные перемещения точек за-

50

меняют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к траекториям точек и обозначают δr .

Так, например, возможным перемещением рычага АВ является его поворот на бесконечно малый угол δϕ вокруг оси О (рис. 27).

При этом повороте точки А и В должны переместиться по дугам окружностей АА1 и ВВ1. Но с точностью до величин первого порядка малости эти

перемещения можно заменить возможными перемещениями δrA = AA′ и δrB = BB′ в виде прямолинейных отрезков, отложенных по касательным к

траекториям точек, а по величине соответственно равных:

δrA =ОА δϕ и δrВ =ОВ δϕ.

Действительные перемещения несвободной механической системы dr , которая движется под действием приложенных к ней сил, входят в число ее возможных перемещений и являются их частным случаем. Однако это справедливо лишь для стационарных связей. В случае нестационарных связей действительные перемещения системы не относятся к числу ее возможных перемещений.

В общем случае для точек системы может существовать множество различных возможных перемещений. Однако для каждой системы, в зависимости от характера наложенных на нее связей, можно указать определенное число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение может быть представлено как их геометрическая сумма. Например, шарик, лежащий на какой-нибудь плоскости, можно переместить вдоль этой плоскости по множеству направлений. Однако любое его возможное перемещение δr можно получить как сумму двух перемещений

δх и δr2 вдоль лежащих в этой плоскости взаимно перпендикулярных осей:

δr =δr1 +δr2 .

Число независимых возможных перемещений механической системы определяет число степеней свободы этой системы.

Так, рассматриваемый выше шарик на плоскости, если его считать материальной точкой, имеет две степени свободы. У рассмотренного выше куба на плоскости 3 степени свободы – два поступательных перемещения вдоль осей координат и одно вращательное вокруг вертикальной оси. Рычаг, закрепленный на оси, имеет одну степень свободы. Свободное твердое тело име-

ет шесть степеней свободы – независимыми перемещениями являются три поступательных перемещения вдоль осей координат и три вращательных вокруг этих осей.

В заключение введем понятие возможной работы сил, приложенных к системе.

51

Рис. 27

Z

δr i

Y

O

Рис. 28