25

Момент инерции круглого однородного диска массы М и радиуса R относительно центральной оси, перпендикулярен плоскости диска, вычисляет-

ся по формуле

Iс z = МR2 /2.

Центральной называется ось, проходящая через центр масс твердого те-

ла.

Момент инерции твердого тела относительно оси, параллельной центральной, вычисляется по теореме Гюйгенса – Штейнера: момент инерции твердого тела относительно оси, параллельной центральной, равен моменту инерции относительно центральной оси, сложенному с произведением массы

тела на квадрат расстояния между осями:

Iz = Iс z + Мd2 .

2.3. Классификация сил, действующих на механическую систему

Силы, действующие на механическую систему, классифицируются по двум группам: активные и реакции связи; внешние и внутренние силы.

Активные силы – задаваемые силы. Обозначаются - F a .

Реакции связи – силы, действующие на материальные точки механической системы со стороны связей, наложенных на систему. Обозначаются -

F N , F R .

Внешними называются силы взаимодействия точек системы с телами и точками, не входящими в рассматриваемую систему. Обозначаются - F E .

Внутренними силами называются силы взаимодействия точек механической системы между собой. Обозначаются - F J .

Кчислу внешних и внутренних сил могут относиться как активные, так

исилы реакции связей. Рассмотрим свойства внутренних сил и покажем, что главный вектор всех внутренних сил системы и главный момент этих сил относительно произвольной точки равны нулю. Рассмотрим две точки механической системы M1 и M 2 . Силы взаимодействия этих точек – это силы дей-

ствия и противодействия, т.е. это силы, равные по модулю, противоположные по направлению и действующие по одной прямой, следовательно F1 J + F2J = 0 . Так как вся система состоит из пар взаимодействующих точек,

то геометрическая сумма всех внутренних сил, или главный вектор внутренних сил равняется нулю

R J = ∑FkJ = 0

Очевидно, что и сумма моментов сил F1 J и F2J относительно любой

точки равняется нулю, а следовательно и геометрическая сумма моментов внутренних сил, или главный момент внутренних сил, равняется нулю.

M 0J = ∑M 0 ( Fk J ) = 0 .

26

Равенство нулю главного вектора и главного момента внутренних сил материальной системы не означает, что внутренние силы составляют уравновешенную систему сил, т.к. будучи силами действия и противодействия, они приложены к разным телам.

Равенство нулю главного вектора и главного момента не означает также, что внутренние силы не играют никакой роли в движении механической системы. Во-первых, существование механической системы возможно только при наличии внутренних сил, и, во-вторых, в некоторых случаях внутренние силы являются причиной возникновения внешних сил. Например, внешняя сила трения между колесами автомобиля и землей или подошвой человека и землей не могут возникнуть без внутренних сил, передающих вращающий момент на ведущие колеса автомобиля, или без мускульных усилий человека.

2.4. Работа силы

Если механическое движение происходит с превращением его в другую форму движения (в форму потенциальной энергии, теплоты, электричества и т.д.), то в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия, а мерой действия силы является работа силы.

Работа силы – это характеристика действия силы на некотором перемещении.

Работа постоянной силы, образующей постоянный угол ϕ с направлени-

ем перемещения равна произведению модуля силы на путь S и на косинус угла ϕ

A = FS cosϕ .

Данное определение работы можно обобщить, распространить на общий случай переменных силы F и угла ϕ .

Предположим, что точка приложения переменной по модулю и направлению силы F перемещается по криволинейной траектории из т. M1 в т. M 2

(рис. 16а). Чтобы вычислить работу силы F на этом перемещении, нужно разбить это перемещение на элементарные участки, вычислить работу силы на каждом элементарном участке, как работу постоянной силы, и определить предел суммы элементарных работ при стремлении числа участков к бесконечности и длины каждого из них к нулю. Элементарная работа силы на участке ММ′ определяется по формуле

δА = FdS cosϕ .

27

Рис.16

V1

Рис. 17

τ M1

Mi dri

C dr

Mn

FEn

Рис. 18

28

F cosϕ- проекция силы на направление элемента пути, т.е. на касатель-

ную и

δА=FτdS.

Из последнего выражения видно, что работу совершает касательная составляющая силы. При бесконечно малом перемещении длина дуги dS равна длине dr , которая представляет собой вектор бесконечно малого перемещения, а угол между силой и касательной можно считать равным углу между силой и вектором перемещения (рис.16 б), тогда δА= Fdr cos( F ,dr ) или

δА= Fdr , т.е. работа силы на элементарном перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения.

Если проекции силы F на координатные оси X ,Y ,Z , а проекции вектора элементарного перемещения dr −dx,dy,dz , тогда

δА= Fdr = Xdx +Ydy + Zdz .

Работа силы на конечном перемещении S определяется как сумма работ силы F на элементарных криволинейных участках. Если неограниченно увеличивать количество таких участков, то предел этой суммы и есть работа на конечном перемещении, т.е.

A = ∫S F cosϕdS .

0

Работа силы на суммарном перемещении равняется алгебраической сумме работ силы на составляющих перемещениях.

Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на этом перемещении.

2.5. Работа сил, приложенных к твердому телу

2.5.1. Работа внутренних сил

Твердое тело представляет собой механическую систему, расстояния между точками которой остаются неизменными.

Рассмотрим две произвольные точки твердого тела М1 и М2 (рис. 17). Силы F1 J и F2J - силы взаимодействия этих точек, т.е. это силы действия и