21

РАЗДЕЛ II. ДИНАМИКА

Введение

Динамика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел в зависимости от действующих на них сил.

Среди практических задач механики лишь небольшое число допускает чисто статическое или чисто кинематическое исследование; в большинстве случаев необходимо полное, т.е. динамическое изучение механических явлений. При этом используются установленные в статике способы приведения сил, а также разработанные в кинематике методы описания и изучения движения. Поэтому динамика представляет собой наиболее общий раздел механики, имеющий особое значение для решения многих практических задач в различных областях техники.

Воснову динамики положены некоторые исходные положения, аксиомы, достоверность которых проверена многовековой практической деятельностью людей.

Эти аксиомы были впервые сформулированы Галилеем, а в современном виде Ньютоном и получили название основных законов динамики. Законы динамики Галилея-Ньютона были сформулированы для простейшего материального образа – материальной точки. Материальная точка – это тело конечной массы, размеры которого так малы, что различием в движении его частиц можно пренебречь.

Воснове классической динамики лежат два допущения, утверждающих существование абсолютного пространства и абсолютного времени. Предполагается, что пространство обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения. Время по Ньютону также считается независимым, протекающим равномерно и одинаково во всех системах отсчета.

1.ДИНАМИКА СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1.1.Основные законы динамики

1.Закон инерции (первый закон Ньютона)

Изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. ( Под изолированной понимается материальная точка, не испытывающая действия других материальных объектов).

Но движение, происходящее с постоянной скоростью в одной системе отсчета, может представляться ускоренным в другой системе отсчета. Системы отсчета, в которых выполняется закон инерции, носят название инерци-

22

альных систем отсчета. Гелиоцентрическая система координат (с началом в центре солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды), весьма близка к инерциальной. Легко понять, что все системы отсчета, движущиеся равномерно и поступательно относительно инерциальной системы отсчета, также являются инерциальными, т.к. ускорение точки в этих системах не отличается от ускорения в неподвижной системе отсчета, т.е. равно нулю.

6. Основной закон динамики (второй закон Ньютона)

Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы. Аналитическое выражение этого закона носит название основного уравнения динамики

ma = F

F - сила, действующая на точку, a - ускорение точки,

m - масса точки, или

a = Fm

Из этого выражения можно видеть, что причиной появления ускорения точки является сила, а масса – характеризует степень сопротивляемости материальной точки изменению ее движения, т.е. является мерой инертности точки. Такое определение массы дает одностороннее представление о массе. Массу следует рассматривать также как способность материи создавать поле тяготения. Т.о., масса характеризует как инерционные, так и гравитационные свойства материи. В классической механике рассматриваются движения тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. При таких скоростях, как показывают точные эксперименты по определению «инертной» и «тяжелой» масс, эти две величины совпадают и равны массе покоящегося тела.

6. Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона)

Две материальные точки взаимодействуют так, что силы их взаимодействия равны по величине, противоположны по направлению и имеют об-

щую линию действия. Будучи приложены к разным телам эти силы не уравновешиваются.

23

4. Закон независимости действия сил

Если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение, приобретаемое точкой, равняется геометрической сумме ускорений, которые приобрела бы точка под действием каждой силы в отдельности.

a = a1 + a2 + a3 +...ап ,

где a1 = Fm1 , a2 = Fm2 , … aп = Fmп или

ma = ∑ Fi .

Последнее соотношение носит название основного уравнения динамики точки.

2.Динамика механической системы

Втеоретической механике под механической системой понимается совокупность материальных точек, движение и положение которых взаимосвязаны. Различают неизменяемые и изменяемые механические системы. Если расстояния между точками механической системы остаются неизменными при ее движении, то такая система неизменяемая. Примером неизменяемой системы является твердое тело, деформируемое тело – это изменяемая механическая система.

2.1.Масса механической системы. Центр масс

Массой механической системы называется величина, равная сумме масс всех точек системы М = ∑mi .

Для изучения движения механической системы особое значение имеет геометрическая точка, называемая центром масс механической системы, положение которого определяется радиусом – вектором rc , вычисляемым по

формуле

rc = M1 ∑mi ri ,

где mi - масса i -той точки системы; ri - радиус – вектор i -той точки;

M - масса системы.

Координаты центра масс определяются по формулам: xc = M1 ∑mi xi

yc = M1 ∑mi yi

24

zc = M1 ∑mi zi

Величину ∑mi ri = Mrc называют статическим моментом массы системы относительно полюса O ; величины ∑mi xi = Mxc ; ∑mi yi = Myc ; ∑mi zi = Mzc - статическими моментами относительно плоскостей yoz ; xoz ; xoy .

Если за полюс принять центр масс системы, то

∑mi ri = Mrc =0.

Центр масс механической системы у поверхности Земли совпадает с центром тяжести, однако понятие центра масс – более общее, т.к. центр масс системы существует и в том случае, когда система находится вне поля земного тяготения.

2.2. Моменты инерции твердого тела. Радиус инерции

Важной характеристикой распределения масс механической системы и твердого тела является момент инерции относительно некоторого полюса и оси.

При поступательном движении твердого тела, так же, как и при движении материальной точки, мерой его инертности является масса тела. При вращательном движении твердого тела мерой инертности является момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

Поэтому до исследования различных видов движения твердого тела необходимо рассмотреть понятие момента инерции и установить основные теоремы о моментах инерции, имеющие важное значение в динамике твердого тела.

Моментом инерции твердого тела (системы) относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек на квадраты расстояний от точек до этой оси.

Jz = ∑mi hiz2

Видно, что момент инерции всегда положительная величина. Момент инерции твердого тела относительно оси имеет размерность

произведения массы на квадрат некоторой линейной величины и может быть

представлен в виде

Iz = m i2z

где m – масса тела, iz – радиус инерции.

Радиус инерции твердого тела относительно некоторой оси – это расстояние от оси до точки, в которой надо сконцентрировать массу тела, чтобы момент инерции этой точки относительно оси был равен моменту инерции. Радиус инерции для тел неправильной геометрической конфигурации определяется экспериментально.