7

3. ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Плоско-параллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела остаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Изучение плоско-параллельного движения может быть сведено к изучению движения плоской фигуры, являющейся сечением тела плоскостью, параллельной данной неподвижной плоскости, в плоскости этой фигуры. Поэтому плоско-параллельное движение называют плоским движением.

3.1. Разложение плоского движения на простейшие

Плоское движение может быть представлено как совокупность поступательного движения тела вместе с произвольно выбранным полюсом и вращательного движения относительно оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости плоской фигуры. При этом поступательная часть движения зависит от выбора полюса, вращательная не зависит. Плоское движение считается заданным, если задано движение полюса и вращение вокруг полюса, т.е. заданы координаты точки А, выбранной за полюс, и угол поворота тела ϕ как функция времени: хА = f1(t), уА = f2(t), ϕ = f3(t)

3.2. Теорема сложения скоростей при плоском движении

Пусть тело совершает плоское движение, задано движение точки А (т.е. известна скорость этой точки в любой момент времени) и угол поворота тела вокруг полюса (а значит, известна угловая скорость тела в любой момент времени) (рис.4).

Скорость любой точки М плоской фигуры может быть определена следующим образом

vM =vA +vMA или

vM =vA +ω x rM A , где

rM A - радиус-вектор точки М относительно точки А.

Последние векторные равенства выражают теорему сложения скоростей при плоском движении твердого тела. Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости точки вокруг полюса.

8

3.3. Мгновенный центр скоростей

При движении плоской фигуры существует точка ее плоскости, скорость которой в данный момент времени равняется нулю, все остальные точки тела совершают мгновенный поворот вокруг этой точки, которая называется мгно-

венным центром скоростей.

Мгновенный центр скоростей – это единственная точка в каждый момент времени. При этом положение мгновенного центра непрерывно меняется при движении тела. Таким образом, плоское движение можно рассматри-

вать как совокупность мгновенных вращений тела вокруг мгновенных центров скоростей.

3.4. Определение скоростей точек тела плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

Обозначим мгновенный центр скоростей буквой Р и найдем скорость произвольной точки М (рис.5).

Для этого запишем теорему сложения скоростей, выбрав в качестве полюса точку Р

vM =vP +vM P

vP = 0 по определению мгновенного центра скоростей и vM = vM P , т.е. по

модулю и по направлению скорость точки М определяется как вращательная скорость точки при вращении тела вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей: модуль скорости точки М равен произведению угловой

лен в сторону вращения.

Все рассуждения справедливы и для любой другой точки, т.е.

Таким образом, можно сформулировать ряд правил для изучения движения плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей:

1.Чтобы построить вектор скорости любой точки, надо соединить ее с мгновенным центром скоростей, восстановить перпендикуляр к полученному отрезку и по нему направить вектор скорости в сторону вращения;

2.Чтобы найти модуль скорости любой точки, надо угловую скорость тела умножить на расстояние от этой точки до мгновенного центра скоростей, т.е. скорости точек пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей;

3.Чтобы найти мгновенную угловую скорость тела надо разделить скорость любой точки на расстояние от этой точки до мгновенного центра

9

ω= Mv MP = Av AP = Bv BP ...

Таким образом, чтобы определить в данный момент скорости точек плоской фигуры, необходимо знать положение мгновенного центра скоростей.

3.5. Различные случаи определения мгновенного центра скоростей

Рассмотрим различные случаи определения положения м.ц.с.:

а) известны скорость одной точки А - υА и угловая скорость плоской фигуры ω (рис.6). М.ц.с. находится на перпендикуляре, восстановленном к скорости т.А, на расстоянии АР =υА /ω .

Направление перпендикуляра находим, поворачивая υА на угол π / 2 в сторону вращения;

б) известны скорость т. А - υА и направление скорости т.В. М.ц.с. находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к скоростям этих точек (рис.7);

в) известны скорости двух точек А и В плоской фигуры. Они параллельны друг другу, перпендикулярны отрезку АВ, направлены в одну сторону и не равны (рис.8). М.ц.с. находится в точке пересечения продолжения отрезка АВ и прямой, соединяющей концы векторов

скоростей υА и υВ ; г) известны скорости двух точек А и В плоской фигуры. Они парал-

лельны друг другу, перпендикулярны к отрезку АВ и направлены в разные стороны (рис.9). М.ц.с. находится в точке пересечения отрезка АВ и прямой, соединяющей концы векторов скоростей υА и υВ .

Если скорости двух точек плоской фигуры равны по величине и параллельны друг другу (рис.10), то м.ц.с. в данный момент не существует (она находится в бесконечности), угловая скорость плоской фи-