52

Пусть система материальных точек занимает в некоторый момент времени t какое-то положение. Обозначим через F1 , F2 , ...Fn силы приложен-

ные к точкам системы. Из данного положения при фиксированном времени t сообщим системе возможные перемещения

δr1 ,δr2 ,...δrn .

Будем считать, что силы F1 , F2 , ...Fn , приложенные к точкам системы,

не изменяются. Составим сумму работ этих сил на этом перемещении:

n

δA = ∑ Fiδri – эта сумма называется возможной работой заданных

i =1

сил.

В соответствии с этим введем еще одну классификацию связей.

Связи являются идеальными, если сумма работ всех реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Согласно этому определению для идеальных связей

δA N = ∑n N iδri . i =1

Примером идеальной голономной связи может служить абсолютно гладкая поверхность. Если по такой поверхности перемещается некоторая точка, то реакция связи N будет перпендикулярна к поверхности, а вектор возможного перемещения δr будет лежать в плоскости, касательной к поверхности. В силу ортогональности векторов N и δr возможная работа будет равна

N δr = Nδr cos900 = 0.

Также работа реакции R шарнира, если пренебречь трением, будет равна нулю.

6.4. Принцип возможных перемещений

Рассмотрим несвободную механическую систему М1 , М2 , ...Мn , нахо-

дящуюся в равновесии (рис. 28). Если система находится в равновесии, то действующие на нее силы взаимно уравновешиваются. Так если обозначить

через Fi a и Ni результирующие всех активных сил и реакций связей, соот-

Эти условия имеют один существенный недостаток – они требуют учета всех сил, включая и реакции связей.

В 1788 году Лагранж, обобщая работы своих предшественников, сформулировал весьма удобный в приложениях принцип возможных перемеще-

53

ний, устанавливающий условия равновесия системы материальных точек с идеальными и стационарными связями.

Принцип возможных перемещений заключается в следующем: для того чтобы механическая система, на точки которой наложены идеальные, стационарные и удерживающие связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Таким образом, нужно доказать, что для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

∑n Fi a δri = 0 i=1

НЕОБХОДИМОСТЬ. Предположим, что система находится в равновесии. Следовательно, должны выполняться условия

Fi a + Ni = 0, где i =1,2,...n.

Из данного положения дадим системе возможное перемещение

δr1 ,δr2 ,...δrn .

Умножим каждое из уравнений равновесия на δri и сложим их почленно:

Так как связи идеальные, то последняя сумма равна 0.

Следовательно, при равновесии системы должно выполняться равенство

∑n Fi a δri = 0, i=1

доказывающее необходимость этого условия.

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Доказательство достаточности принципа возможных перемещений проведем от обратного.

Предположим, что условие ∑n Fi a δri = 0 выполнено, а система не на-

i=1

ходится в равновесии. Пусть рассматриваемая система начала двигаться из состояния покоя. Тогда равнодействующая сил Fi a и Ni на действительном

перемещении dri совершит положительную работу, так как перемещения то-

Написав такие неравенства для всех точек системы и просуммировав их, получим

∑n (Fi a + Ni ) δri > 0 . i=1

54

Так как действительные перемещения в случае стационарных связей являются одними из возможных, то последние можно выбрать так, чтобы они

совпадали с действительными. Полагая в последнем неравенстве dri =δri и разбивая суммы на две, получаем

По условию связи являются идеальными, поэтому вторая сумма равна нулю. Следовательно,

∑n Fi a δri > 0, i=1

а это противоречит предположению, что ∑n Fi a δri = 0.

i=1

Следовательно, сделанное допущение (о том, что система начала двигаться) неверно. Этим доказывается достаточность принципа возможных перемещений для равновесия механической системы.

6.5. Пример решения задачи на принцип возможных перемещений

Содержание задачи

Определить реакции опор составных балок, используя принцип возможных перемещений. Схемы механических систем для каждого варианта задачи представлены на страницах 55-58 и в табл. 4.

Для решения задач на применение принципа возможных перемещений к определению реакций составной конструкции можно рекомендовать следующую последовательность:

1)равномерно распределенную нагрузку заменить сосредоточенной силой, равной площади эпюры нагрузки и приложенной в центре тяжести эпюры;

2)мысленно отбросить связь, реакцию которой требуется определить, заменив ее реакцией связи;

3)сообщить полученной системе с одной степенью свободы возможное перемещение, при котором точка приложения искомой реакции переместится по направлению действия реакции;

4)составить уравнение работ. Криволинейные возможные перемещения точек системы заменяются прямолинейными отрезками, отложенными по касательным и возможным траекториям точек, т.к. возможные перемещения можно рассматривать как величины первого порядка малости;

59

Т а б л и ц а 4

60

П р о д о л ж е н и е т а б л и ц ы 4

61

5)установить зависимость возможных перемещений точек приложения активных сил и искомой реакции, выразив их через одно возможное перемещение;

6)решив составленное уравнение, определить искомую величину.

При определении реакций нескольких связей их отбрасывают поочередно, чтобы в уравнение входила только одна неизвестная величина.

При определении реакции шарнира ее раскладывают на составляющие по координатным осям и рассматривают сначала движение по одной оси, а затем по другой.

Реакции опор составной конструкции могут быть определены методами статики твердого тела, но в этом случае решение оказывается более громоздким.

Контроль правильности решения задач

При определении реакций опор составных конструкций можно сделать проверку правильности решения задачи, составив уравнения равновесия сил для конструкции, как для твердого тела:

∑Xi = 0 ∑Yi = 0 ∑Mi0 = 0

Решение задачи

Определить реакции опор составной балки.

Условия задачи сформулированы на странице данного учебного посо-

бия.

Рис.29