26
полная энергия остается неизменной. Закон сохранения и превращения энергии - фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем микроскопических тел, так и для систем микротел.
В замкнутой системе, в которой действуют силы трения, полная механическая энергия системы при движении убывает. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.
§ 14. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
Примером применения законов сохранения количества движения и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.
Удар (или соударение) — это встреча двух или более тел, при которой взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.
Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.
Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоиx взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.
Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения количества движения и закон сохранения кинетической энергии. Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара через v1 и v2, после удара — через v'1 и v'2 (рис. 16). Так как удар центральный, то будем рассматривать модули величин. Законы сохранения имеют вид
|
|
m2 |
|
m1v1 + m2v2 = m1υ1′ |
+ m2υ2′ |
(14.1) |
|||||||
m1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
v2 |
m1v12 |
|
m2v22 |
|
m1υ1′ |
2 |
m2υ2′2 |
|
|||
|
|
m2 |
|
+ |
= |
(14.2) |
|||||||
m1 |
|
2 |
2 |
|
2 |
+ |
2 |
||||||
|
v`1 |
v`2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 16
27
Произведя соответствующие преобразования в выражениях (14.1) и (14.2), получим
m1(υ1′ |
+v1 ) = m2 (υ2′ +v2 ) |
(14.3) |
|||||
m1( v12 +υ1′2 ) = m2 ( v22 +υ2′2 ) |
(14.4) |
||||||
откуда |
υ1′ |
+v1 =υ2′ +v2 |
|
||||
Решая совместно уравнения (14.3), (14.4) и (14.5), находим |
|
||||||
υ1′ = ( m1 −m2 )v1 + 2m2v2 |
(14.6) |
||||||
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
υ2′ |
= ( m2 −m1 )v2 + 2m1v1 |
(14.7) |
|||||
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
||
Для анализа полученных результатов разберем несколько примеров: |
|
||||||
1) при v 2 =0 |
|
m1 −m2 |
|
|
|
||
|
υ1′ |
v1 |
(14.8) |
||||
|
= m |
+ m |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
υ2′ = |
2m1 |
|
v1 |
(14.9) |
||
|
m |
+ m |
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Проанализируем выражения (14.8) и (14.9) для различных масс:
а) m1 = m2. Если второй шар до удара висел неподвижно (v2 = 0) (рис.17), то после удара остановится первый шар (υ' 1 = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до
v`2 удара (υ`2 = v1);
v1 |
v2 |
v`2 |
|
||
|
Рис. 17 |
|
m1 |
|
m2 |
|
|
|
|
v1 |
v2=0 |
|
|
|
m1 |
|
m2 |
|
|
|
|
v`1 |
v`2 |
б) m1 > m2. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (υ' 1 < υ1). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (υ'2 > υ'1) (рис. 18);
в) m1 < m2. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в
Рис. 18
28
которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью (рис. 19);
|
|
m2 |
|
г) m1 |
>> m2 (например, столкновение со |
m1 |
|
стеной). Из уравнений (14.8) и (14.9) следует, |
|||
|
|
|
|
что |
|
|
v1 |
v2=0 |
|
||
|
|
|
|||
|
|
m2 |
|
|
υ'1 = - v1, υ'2 ≈ 2m1v1/m2 ≈ 0 |
m1 |
|
|
|||
|
|
|
v`2 |
2) при m1 = m2. Выражения (15.6) и (15.7) будут |
|
v`1 |
иметь вид |
υ'1 = v2, υ'2 = v1, |
|||
|
Рис. 19 |
|
|
||
|
|
т. е. |
шары равной массы обмениваются |
||
|
|
|
|
||
скоростями.
m1 m2
v1 v2
m1+m2
v
Рис. 20
Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 20).
Если массы. тел m1 и m2, их скорости до удара v1 и v2, то используя закон сохранения импульса, можно записать
m1v1 + m2 v2 =( m1 + m2 )v
откуда
v = m1v1 |
+ m2 v2 |
(14.10) |
m + m |
|
|
1 |
2 |
|
Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, о бладающий большим количеством движения. В частном случае, если массы шаров равны (m1 = m2), то
v = (v1 + v2)/2
Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от величины самих деформаций, а от скоростей деформаций, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит потеря кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии, Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
( m1 + m2 )v |
2 |
m1v1 |
+ |
m2v2 |
|
− |
|
||
∆T = |
2 |
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
Используя (14.10), получим
∆T = |
m1m2 |
|
|
( v −v )2 |
|
2( m + m ) |
|||||
|
1 2 |
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2 = 0), то
v = |
|
m1v2 |
|
|
|
|
m + m |
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
m |
m v2 |
||
∆T = |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
m + m |
2 |
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Когда m2 » m1, (масса неподвижного тела очень большая), то v << v1, и почти вся кинетическая энергия дела при ударе переходит в другие формы энергии. Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит потеря механической энергии под действием диссипативных сил.
Глава 4. Механика твердого тела
§ 15. Момент инерции
При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
n |
|
|
J = ∑mi ri |
2 |
(15.1) |
i=1
Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
h
dr r 
R
Рис. 21
J = ∫r2dm
где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.
В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и
30
радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 21). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним – r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r2dm (так как dr <<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра. 2πrhdr — объем рассматриваемого элементарного цилиндра. Еслиρ
— плотность материала, то его масса
dm = ρ · 2πrhdr и dJ = 2πhρr3dr.
Тогда момент инерции сплошного цилиндра
J = ∫dJ = 2πhρR∫r3dr = 12 πhR4ρ
0
но так как πR2h – объем цилиндра, то его масса m = πR2hρ, а момент инерции
J = 12 mR2
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции JС относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями:
|
|
|
J = JC + ma2 |
|
|
|
|
(15.2) |
|
В заключение приведем значения моментов инерции (табл.1) для |
|||||||||
некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 1 |
|
Тело |
|
Положение оси |
|
|
|
Момент |
||
|
|
вращения |
|
|
|
инерции |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Полый |
тонкостенный |
Ось симметрии |
|
mR2 |
|
|
|||
цилиндр радиуса R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сплошной цилиндр или |
То же |
|
|
12 mR2 |
|||||
диск радиуса R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямой тонкий стержень |
Ось |
перпендикулярна |
1 |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
12 ml |
|||
длиной l |
|
стержню |
и |
проходит |
|
||||
|
|
через его середину |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Прямой тонкий стержень |
Ось |
перпендикулярна |
1 |
3 ml |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
длиной l |
|
стержню |
и |
проходит |
|
|
|
||
|
|
через его конец |
|
|
|
|
|
||
Шар радиуса R |
Ось |
проходит через |
2 5 mR2 |
||||||
|
|
центр шара |
|
|
|
|
|
|
|