§2. Уравнение плоскости

15. Построить плоскости:

1) 5x – 2y + 3z – 10 = 0; 2) 3x + 2y – z = 0; 3) 3x + 2z = 6; 4) 2z – 7 = 0.

15. Построить плоскость 2x + 3y + 6z – 12 = 0 и найти углы нормали к плоскости с осями координат.

77. Даны точки M₁(0, – 1, 3) и M₂ (1, 3, 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной к вектору =.

78. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(2, 1, – 1) и имеет нормальный вектор = {1; – 2; 3}.

79. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор = {5; 0; – 3}.

80. Даны две точки M₁(3, – 1, 2) и M₂ (4, – 2, – 1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ перпендикулярно вектору .

81. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(3, 4, – 5) параллельно двум векторам ₁ = {3; 1 ; – 1} и ₂ = {1 ; – 2; 1}.

82. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(2, – 1, 3) и M₂(3, 1, 2) параллельно вектору = {3; – 1; 4}.

83. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки:

M₁(3, – 1, 2), M₂ (4, – 1, – 1) и M₃ (2, 0, 2).

78. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

1) 2x – 3y + 5z – 7 = 0, 2x – 3y + 5z + 3 = 0;

2) 4x + 2y – 4z + 5 = 0, 2x + y + 2z – 1 = 0;

3) x – 3z + 2 = 0, 2x – 6z – 7 = 0.

84. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

1) 3x – y – 2z – 5 = 0, x + 9y – 3z + 2 = 0;

2) 2x + 3y – z – 3 = 0, x – y – z + 5 = 0;

3) 2x – 5y + z = 0, x + 2z – 3 = 0.

84. Определить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x – 3y + 2z – 3 = 0.

85. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(3, – 2, – 7) параллельно плоскости 2x – 3z + 5 = 0.

86. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

2x – y + 3z – 1 = 0, x + 2y + z = 0.

84. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(2, – 1, 1) перпендикулярно к двум плоскостям: 2x – z + 1 = 0, y = 0.

85. Установить, что три плоскости x – 2y + z – 7 = 0, 2x + y – z + 2 = 0 и x – 3y + 2z – 11 = 0 имеют одну общую точку. Вычислить ее координаты.

86. Доказать, что три плоскости 7x + 4y + 7z + 1 = 0, 2x – y – z + 2 = 0 и x + 2y + 3z – 1 = 0 проходят через одну прямую.

87. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1. через точку M₁(2, – 3, 3) параллельно плоскости 0xy;

2. через точку M₂ (1, – 2, 4) параллельно плоскости 0xz;

3. через точку M₃ (– 5, 2, – 1) параллельно плоскости 0yz.

84. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1. через ось 0x и точку M₁(4, – 1, 2);

2. через ось 0y и точку M₂ (1, 4, – 3);

3. через ось 0z и точку M₃ (3, – 4, 7).

84. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1. через точки M₁(7, 2, – 3) и M₂ (5, 6, – 4) параллельно оси 0x;

2. через точки P₁(2, – 1, 1) и P₂ (3, 1, 2) параллельно оси 0y;

3. через точки Q₁(3, – 2, 5) и Q₂ (2, 3, 1) параллельно оси 0z.

84. Найти точки пересечения плоскости 2x – 3y – 4z – 24 = 0 с осями координат.

85. Дано уравнение плоскости x + 2y – 3z – 6 = 0. Написать для нее уравнение в отрезках.

86. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3x – 4y – 24z+12 = 0 на координатных осях.

87. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость 5x – 6y + 3z + 120 = 0 от координатного угла 0xy.

88. Плоскость проходит через точку M₁(6, – 10, 1) и отсекает на оси абсцисс (ось 0x) отрезок a = – 3 и на оси аппликат (0z) отрезок c = 2. Составить для этой плоскости уравнение в отрезках.

89. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(2, – 3, – 4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (каждый отрезок считать направленным из начала координат).

90. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки M₁(– 1, 4, – 1), M₂(– 13, 2, – 10) и отсекает на осях абсцисс и аппликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

91. Вычислить расстояние d точки от плоскости в каждом из следующих случаев:

1) M₁ (– 2, – 4, 3); 2x – y + 2z + 3 = 0;

2) M₂ (2, – 1, – 1); 16x – 12y + 15z – 4 = 0;

3) M₃ (1, 2, – 3); 5x – 3y + z + 4 = 0;

4) M₄ (3, – 6, 7); 4x – 3z – 1 = 0;

5) M₅ (9, 2, – 2); 12y – 5z + 5 = 0.

84. Вычислить расстояние d от точки P(– 1, 1, –2) до плоскости, проходящей через три точки: M₁(1, – 1, 1), M₂ (– 2, 1, 3) и M₃ (4, – 5, – 2).

85. Определить, лежат ли точка Q(2, – 1, 1) и начало координат по одну или по разные стороны относительно каждой из следующих плоскостей:

1) 5x – 3y + z – 18 = 0; 4) 2x + 7y + 3z + 1 = 0;

2) x + 5y + 12z – 1 = 0; 5) 2x – y + z + 11 = 0;

3) 2x + 3y – 6z + 2 = 0; 6) 3x – 2y + 2z – 7 = 0.

84. Доказать, что плоскость 3x – 4y – 2z + 5 = 0 пересекает отрезок, ограниченный точками M₁(3, – 2, 1) и M₂ (– 2, 5, 2).

85. В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между двумя параллельными плоскостями:

1) x – 2y – 2z – 12 = 0, x – 2y – 2z – 6 = 0;

2) 2x – 3y + 6z – 14 = 0, 4x – 6y + 12z + 21 = 0;

3) 2x – y + 2z + 9 = 0, 4x – 2y + 4z – 21 = 0;

4) 16x + 12y – 15z + 50 = 0, 16x + 12y – 15z + 25 = 0;

5) 30x – 32y + 24z – 75 = 0, 15x – 16y + 12z – 25 = 0;

6) 6x – 18y – 9z – 28 = 0, 4x – 12y – 6z – 7 = 0.

84. На оси 0y найти точку, отстоящую от плоскости x + 2y – 2z – 2 = 0 на расстоянии d = 4 .

85. На оси 0z найти точку, равноудаленную от точки M(1, – 2, 0) и от плоскости 3x – 2y + 6z – 9 = 0.

86. На оси 0x найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:

12x – 16y + 15z + 1 = 0, 2x + 2y – z – 1 = 0.

84. Через ось 0z провести плоскость, составляющую с плоскостью 2x + y – z = 0 угол 60.

85. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (0; 0; ) и перпендикулярной к плоскостям x – y – z = 0 и 2y = x.

86. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 4x – y + 3z – 6 = 0, x + 5y – z + 10 = 0 и перпендикулярной к плоскости 2x – y + 5z – 5 = 0.