§3. Векторное произведение

Определить и построить вектор =. Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторахи, если:

40. = 3, = 2;41. = +, = –; 42. = 2+3, = 3+2.

43. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(7; 3; 4), B(1; 0; 6) и C(4; 5; –2).

44. Построить параллелограмм на векторах = 2+,= +2и вычислить его площадь и высоту.

Раскрыть скобки и упростить выражения:

45. (+) –(+) +(++) ;

46. (++)+ (++)+ (–);

47. (2+)(–) + (+)(+) ;

48. 2() + 3 () + 4() .

49. Доказать, что (–)(+) = 2, и выяснить геометрическое значение этого тождества.

50. Построить векторы = 3–2, = 3–2, =. Вычислить модуль вектораи площадь треугольника, построенного на векторахи.

51. Построить треугольник с вершинами A(1; –2; 8), B(0; 0; 4) и C(6; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту BD.

52. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах =– и = ++.

53. Доказать, что ( 2+) (+ 2) = ( 3) .

54. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах =+ 2и= 2+, гдеи– единичные векторы, образующие угол 30.

55. Дано: || = 3; || = 26; || = 72. Вычислить () .

56. Даны векторы = {3; –1; –2} и= {1; 2; –1}. Найти координаты векторного произведения (2–) (2+).

57. Дано: ;;. Вычислить.

58. Какому условию должны удовлетворять векторы и, что бы векторыибыли коллинеарны?

§4. Смешанное произведение

59. Построить параллелепипед на векторах ,,и вычислитьего объем. Правой или левой будет связка векторов (,,)?

60. Построить пирамиду с вершинами и O(0; 0; 0), A(5; 2; 0), B(2; 5; 0) и C(1; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

61. Показать, что точки A(2; –1; –2), B(1; 2; 1) и C(2; 3; 0) и D(5; 0; –6) лежат в одной плоскости.

62. Показать, что векторы ,,компланарны. Разложить векторпо векторами.

63. Векторы ,и, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что || = 4; || = 2; || = 3, вычислить ().

64. Даны три вектора: ={1; –1; 3};={–2; 2; 1};={3; –2; 5}. Вычислить ().

65. Даны вершины тетраэдра: A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7), и D(–5; –4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

66. Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся в точках A(2; 1; –1), B(3; 0; 1) и C(2; –1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.

Глава 3 прямая и плоскость

§1. Прямая на плоскости

1. Построить прямые, отсекающие на оси отрезоки составляющие с осьюугол: 1); 2). Написать уравнения этих прямых.

2. Построить прямые, отсекающие на оси отрезоки составляющие с осьюугол: 1); 2). Написать уравнения этих прямых.

3. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью угол: 1); 2); 3); 4); 5).

4. Построить прямую, проходящую через начало координат и через точку , написать ее уравнение.

5. Определить параметры идля каждой из прямых:

1);2);3);4).

6. Построить прямые:

1);2);3);4).

7. Определить параметры ипрямой, проходящей через точкуA(2; 3) и составляющей сугол. Написать уравнение этой прямой.

8. Привести к виду в отрезках на осях уравнения прямых:

1);2).

9. Даны точки и. На отрезкепостроен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке. Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

11. Прямые ипересекают прямуюсоответственно в точкахи. Построить вектор, определить его длину и проекции на оси координат.

12. Лежат ли точки A(3; 5),B(2; 7),C(-1; -3) иD(-2; -6) на прямойили же они выше или ниже этой прямой ?

13. Каков геометрический смысл неравенств:

1);2);3);4)?

14. Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:

1) ,,;2) ,,;

3) ,,.

Указание.Слово «область» здесь означает часть плоскости, координаты каждой точки которой удовлетворяют некоторым условиям (например, неравенствам). Область называется замкнутой, если в нее включены точки, лежащие на границе области. В противном случае область называется открытой.

15. Прямые ипересекают прямуюв точкахи. Определить длину вектораи его проекции на оси координат.

16. Определить, какие из точек M₁(3; 1), M₂(2; 3), M₃(6; 3), M₄(-3;-3), M₅(3;-1), M₆(-2; 1) лежат на прямой и какие не лежат на ней.

17. Определить точки пересечения прямой с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

18. Найти точку пересечения двух прямых ,.

19. Стороны ,итреугольникаданы соответственно уравнениями,,. Определить координаты его вершин.

Указание. Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы будем понимать уравнения прямых, на которых лежат стороны.

15. Даны уравнения двух сторон параллелограмма ,и уравнение одной из его диагоналей. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

16. Определить угловойкоэффициенти отрезок , отсекаемый на оси, для каждой из прямых:

1);2);3);

4);5).

15. Дана прямая . Определить угловой коэффициентпрямой:

1)параллельной данной прямой;

2)перпендикулярной к данной прямой.

15. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точкуM₀(2; 1):

1)параллельно данной прямой;

2)перпендикулярно к данной прямой.

15. Даны уравнения двух сторон прямоугольника ,и одна из его вершинA(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

16. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.

17. Найти проекцию точки P(-6; 4) на прямую.

18. Найти точку , симметричную точкеP(-5; 13) относительно прямой.

19. В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей между ними:

1) ,;

2) ,;

3) ,;

4) ,;

5) ,.

15. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4),B(-1; 3),C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.

16. Даны середины сторон треугольника M₁(2; 1),M₂(5; 3),M₃(3; -4). Составить уравнения его сторон.

17. Даны вершины треугольника M₁(2; 1),M₂(-1; -1),M₃(3; 2). Составить уравнения его высот.

18. Стороны треугольника заданы уравнениями ,,. Определить точку пересечения его высот.

19. Даны вершины треугольника A(1; -1),B(-2; 1) иC(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершинына медиану, проведенную из вершины.

20. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2),B(5; -2),C(1; 0).

21. Даны уравнения двух сторон прямоугольника ,и уравнение его диагонали. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

22. Даны вершины треугольника A(1; -2),B(5; 4) иC(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине.

23. Составитьуравнение прямой, проходящей через точкуP(3; 5) на одинаковых расстояниях от точекA(-7; 3) иB(11; -15).

24. Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точкиA(2; -3) иB(-5; 1).

25. Найти точку , симметричную точкеM₂(8; -9) относительно прямой, проходящей через точкиA(3; 4) иB(-1; -2).

26. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точкуM₀(2; 1) под угломк данной прямой.

27. Точка A(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

28. Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых:

1) ,;

2) ,;

3) ,;

4) ,;

5) ,;

6) ,.

Указание.Воспользоваться условием перпендикулярности прямых.

15. Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых:

1) ,;

2),;

3) ,.

Указание. Воспользоваться формулой для определения угла между двумя прямыми.

15. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:

1) ,;

2) ,;

3) ,;

4) ,;

5) ,.

15. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:

1) ,;

2) ,;

3) ,;

4) ,.

15. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые совпадают:

1) ,;

2) ,;

3) ,.

15. ,Определить, при каких значениях идве прямые:

1)имеют одну общую точку;

2)параллельны;

3)совпадают.

15. Определить, при каком значении три прямые,,будут пересекаться в одной точке.

16. Составить для данных прямых уравнения в отрезках и построить эти прямые.

1) ;2) ;3) ;

4) ;5) .

15. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.

16. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку B(5; -5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50 кв.ед.

17. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.

18. Через точку M(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв.ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

19. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6);7) ; 8).

15. Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:

1);2) ;

3) ;4) ; 5) .

15. Определить полярный угол нормали и отрезокдля каждой из данных прямых; по полученным значениям параметровипостроить эти прямые на чертеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считаяи):

1) ;2) ;3) ;4) ;

5) ;6) ;7) ;

8) ,;– острый угол;

9) ,;– острый угол.

15. Вычислить величину отклонения и расстояниеточки от прямой в каждом из следующих случаев:

1) A(2; -1), ; 2) B(0; -3), ;

3) P(-2; 3), ; 4) Q(1; -2), .

15. Установить, лежат ли точка M(1; -3) и начало координат по одну или по разные стороны каждой из следующих прямых:

1) ;2) ;3) ;

4) ;5) .

15. Точка A(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой. Вычислить площадь этого квадрата.

16. Даны уравнения двух сторон прямоугольника ,и одна из его вершинA(-2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.

17. Доказать, что прямая пересекает отрезок, ограниченный точкамиM₁(-5; 1),M₂( 3; 7).

18. Доказать, что прямая не пересекает отрезок, ограниченный точкамиM₁(-2; -3),M₂(1; -2).

19. Даны вершины треугольника A(-10; -13),B(-2; 3) иC(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершиныBна медиану, проведенную из вершиныC.

20. Вычислить расстояние dмежду параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:

1) ,;

2) , ;

3) ,;

4) ,.

15. Доказать, что прямая параллельна прямым,и делит расстояние между ними пополам.

16. Даны уравнения двух сторон квадрата ,

и одна из его вершин A(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

15. Даны уравнения двух сторон квадрата: ,. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точкаM₁(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точекA(5; -1) иB(3; 7).

17. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых и :

1)проходящей через точкуA(3; -1);

2)проходящей через начало координат;

3)параллельной осиOx;

4)параллельной осиOy;

5)параллельной прямой;

6)перпендикулярной прямой.

15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых ,и отсекающей на оси ординат отрезок. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

16. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых ,и делит пополам отрезок, ограниченный точкамиM₁(5; -6) иM₂(-1; -4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

17. Даны уравнения сторон треугольника ,,. Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого треугольника.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых ,под угломк прямой. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

19. Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что прямаяпринадлежит этому пучку.