
- •§ 2. Геометрический смысл производной
- •§ 3. Физический смысл производной
- •§ 4. Правила дифференцирования
- •§ 5. Таблица производных основных элементарных функций
- •§ 6. Производная сложной функции
- •§ 7. Дифференциал
- •§ 8. Геометрический смысл дифференциала
- •§ 9. Приложения производной
- •1. Возрастание и убывание функции
- •2. Точки экстремума
- •3. Наименьшее и наибольшее значения функции
- •4. Направление выпуклости и точки перегиба кривой
- •5. Асимптоты кривой
- •6. Построение графиков функций
- •Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •§ 1. Первообразная. Неопределённый интеграл
§ 2. Геометрический смысл производной
На
рисунке изображен график функции y
= f(x).
На оси Ох
зафиксируем точку
;
значением функции в этой точке будет
.
Пустьх
– приращение независимой переменной
в точке
;
;
– значение функции в точке
.
Обозначим на рис. 3 точкиА(
;
),В(х;
),С(х;
).
Проведём секущую – прямуюАВ,
пересекающую график функции в двух
точках А
и В,
и рассмотрим треугольник АВС.
В силу известных формул, определяющих
соотношения в прямоугольном треугольнике,
.
Но по построениюАС
= х,
ВС =
f;
поэтому
.
В
правой части последней формулы стоит
то же выражение, что и под знаком предела
в определении производной. Пусть
,
тогда
;
секущаяАВ
в пределе превращается в касательную
l,
а
,
тогда
.
Для случая, когда х или f являются отрицательными величинами, рассуждения проводятся аналогично.
Таким
образом,
производная функции в точке
равна тангенсу угла наклона касательной
(к положительному направлению оси Ох),
проведённой к графику функции в точке
А(
,
).
где α – угол между касательной к кривой в точке М(х0, y0) и положительным направлением оси Ох.
Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке М(х0, y0) имеет вид
Нормалью к кривой y = f(x) в данной её точке М(х0, y0) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку М(х0, y0).
Уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке М(х0, y0) имеет вид
Направление кривой в каждой её точке определяется направлением касательной к ней в этой точке, поэтому для нахождения угла наклона кривой в данной её точке надо вычислить угол между касательной, проведенной в этой точке, и осью Ох.
Углом между пересекающимися кривыми называется угол между касательными к этим кривым, проведенным в точке их пересечения.
Пример
Под какими углами парабола y = x2 + x пересекает ось Ох?
Решение:
Найдем точки пересечения параболы y = x2 + x с осью Ох. Для этого решим систему уравнений:
Решением данной системы являются две точки А(-1; 0) и О(0;0).
Значит, парабола пересекает ось Ох в точках А(-1; 0) и О(0;0). Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в этих точках:
.
Вычислим углы α1 и α 2, имеем tgα1 = –1 , тогда α1 = 135
tgα2 = 1, α2 = 45
Пример
Найти уравнение касательной и нормали к кривой y = x3 + 2x в точке М(1, 3).
Решение:
Для
определения углового коэффициента
касательной находим производную от
заданной функции:
.
Вычислим
угловой коэффициент касательной,
подставив в производную абсциссу точки
М(1,
3), имеем
.
Таким образом, уравнение касательной имеет вид:
;
или
,
а уравнение нормали:
,
или
.
§ 3. Физический смысл производной
Пусть
с помощью закона s
= s(t)
задано прямолинейное неравномерное
движение и t0
– время начала наблюдения. Средняя
скорость движения
за время движенияt,
начиная с момента времени t0,
определяется с помощью следующей
формулы:
.
Нетрудно
увидеть, что, по определению производной
.
С другой стороны,
,
где
– мгновенная скорость в момент времениt0,
то есть
.
Таким образом, при прямолинейном неравномерном движении производная от функции, выражающей закон изменения пути от времени, равна мгновенной скорости движения точки.
Значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов с её помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.
Пример
Смещение
в ответ на одиночное мышечное сокращение
(единичный импульс) описывается уравнением
.
Найдите скорость и ускорение в зависимости
отt.
Решение:
Значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Поэтому можно использовать понятие производной при определении скорости различных процессов.
Скорость
мышечного сокращения равна
=
=.
Ускорение
мышечного сокращения равно
или
=
.
При дальнейшем изложении всюду, где это необходимо, предполагается существование производных от рассматриваемых функций.
Вычисление производной называется дифференцированием функции.