Второй замечательный предел

Предел функции присуществует и равен числуe. Число имеет значениеи является основанием системы натуральных логарифмов; т.е.

. (1)

Этот предел называют вторым замечательным пределом.

Если в (1) положить , то приполучими тогда (1) примет вид:

.

Пример

Найти предел:

Решение:

При подстановке получаем неопределенность типа 1^. Поэтому выражение под знаком предела преобразуем так, чтобы задача сводилась ко второму замечательному пределу.

==, так как

=, где, а показатель степени.

Пример

Найти предел: .

Решение:

======.

§ 4. Непрерывные функции. Точки разрыва

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке х = а, если она определена в этой точке и существует , причем.

Определение 2. Функция называется непрерывной в интервале, если она определена в этом интервале и непрерывна в каждой его точке.

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке x₀ , если:

1) она определена в этой точке;

2) должны существовать односторонние пределы

и они должны быть одинаковыми;

3) эти пределы должны быть равны f(x₀)

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется разрывной.

Для выяснения характера разрыва следует найти пределы функции f(x) при слева и справа, то есть односторонние пределы.

Различают 2 основных вида разрывов:

1) разрыв I рода – в этом случае существуют конечные пределы

, при этом

А) , то точканазывается точкой устранимого разрыва.

Б) , тоесть длина скачка функции .

2) разрыв II рода – когда хотя бы один односторонний предел равен  .

Пример

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функций

а)б).

Решение:

a) Данная функция определена во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля. В точке x = 3 функция не определена и поэтому разрывна. Для исследования характера разрыва найдем односторонние пределы при x  3.

Следовательно, функция в точкеx = 3 имеет бесконечный разрыв, то есть x = 3 – точка разрыва II рода.

б) Здесь функция определена при всех значениях x, кроме x = 0.

Вычислим односторонние пределы при x  0.

Следовательно, точка x = 0 – точка разрыва I рода.

Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§ 1. Производная

Пусть некоторая функция определена и непрерывна в некотором интервале (a, b) и . Рассмотрим произвольную точку. Обозначим разность.х будем называть приращением независимой переменной х. Разность будем называть приращением функции, соответствующим приращению независимой переменнойх (см. рис. 1). Так как х является переменной величиной, то и приращение х является переменной величиной (отметим, что, в силу произвольности выбора х, разность может быть и отрицательной).

Определение 1. Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента , то он называетсяпроизводной функции .

Обозначения:

Пример

Лесоводы обнаружили, что образующая ствола европейской сосны достаточно хорошо аппроксимируется уравнением

,

где (х < 1), у – радиус поперечного сечения ствола, l – расстояние от этого сечения до комля, H – высота ствола, а – радиус ствола в его середине. Исследуйте функцию у(х) и убедитесь, что ее свойства соответствуют нашим наглядным представлениям о древесном стволе (функция убывает, вначале она выпукла вниз, затем вверх). Постройте схематический график функции.

92