Статистика _Овсянникова (исправленный)

где выборочную среднюю xB найдем также по упрощенной формуле

40

Тогда предельная ошибка выборки δ = t σ x′ = 2,96 0,426 ≈1,26 . Искомые границы:

xB −δ ≤ xo ≤ xB +δ ,

10,12 −1,26 ≤ xo ≤10,12 +1,26 ,

8,86 ≤ xo ≤11,38 ,

то есть с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж работы по специальности всех студентов вуза изменяется в пределах от 8,86 лет до 11,38 лет.

Ответ: с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж работы по специальности всех студентов вуза заключен в пределах 8,86 ≤ xo ≤11,38 лет

Задание 2, а2. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9708 заключена доля всех студентов вуза, стаж работы которых по специальности не более 9 лет.

Решение 2, а2. Найдем выборочную долю студентов (по исходным данным табл. 9, стаж работы которых по специальности не более 9 лет:

ω = 15100+20 = 10035 = 0,35 .

Доля студентов вуза, стаж работы которых по специальности не более 9 лет, будет заключена в границах

ω −δ ≤ p ≤ω +δ ,

где предельная ошибка выборки δ = t σω′. В данном случае в качест-

ве средней квадратической ошибки σ выбираем σω′ (см. табл. 3.1), так как оценивается генеральная доля и выборка бесповторная.

Так как по условию доверительная вероятность P = 0,9708 , то значение t найдем по таблице значений функции Лапласа (приложение 2 в настоящих методических указаниях или в книгах [1] или

41

находим t = 2,18 .

Так как по условию выборка бесповторная и оценивается ге-

неральная доля, то среднюю квадратическую ошибку выборки σω′ согласно табл. 6 найдем по формуле

где n =100 – объем выборки,

N = 2000 – объем генеральной совокупности, ω = 0,35 – выборочная доля.

Таким образом,

Тогда предельная ошибка выборки δ = t σω′ = 2,18 0,046 ≈ 0,10 . Искомые границы:

ω −δ ≤ p ≤ω +δ ,

0,35 −0,1 ≤ p ≤ 0,35 + 0,1, 0,25 ≤ p ≤ 0,45 ,

то есть с вероятностью 0,9708 можно утверждать, что доля студентов всего вуза, стаж работы которых по специальности не более 9 лет, заключена в пределах от 0,25 до 0,45 (или составляет от 25% до

45%).

Ответ: доля студентов всего вуза, стаж работы которых по специальности не более 9 лет, заключена в пределах 0,25 ≤ p ≤ 0,45 с вероятностью 0,9708.

42

Задание 2, б1. Каким должен быть объем выборки, чтобы границы, найденные в пункте а1, гарантировать с вероятностью

0,9964?

Решение 2, б1. Так как в a1, оценивалась генеральная средняя и выборка бесповторная, то искомый объем выборки согласно табл. 3.2 найдем по формуле:

n′x = nx +N , nx N

где N = 2000 – объем генеральной совокупности;

= t2σ 2

nx δ 2B – объем повторной выборки (согласно табл. 3.2).

По условию имеем (из а1)): σB2 = DB =19,07 , δ =1,26 .

Так как по условию доверительная вероятность P = 0,9964 , то значение t найдем по таблице значений функции Лапласа (приложение 2 в настоящих методических указаниях или в книгах [1] или

Ответ: для того, чтобы гарантировать с вероятностью 0,9964 границы, найденные в пункте а1, объем бесповторной выборки должен составлять 98 студентов.

43

Задание 2 б2. Каким должен быть объем выборки, чтобы границы, найденные в пункте а2, гарантировать с вероятностью

0,996?

Решение 2, б2. Так как в a2 оценивалась генеральная доля и выборка бесповторная, то искомый объем выборки согласно таблицы 3.2 найдем по формуле:

nω′ = nnω+NN ,

ω

где N = 2000 – объем генеральной совокупности;

nω = t2ω(δ12−ω) – объем повторной выборки (согласно табл. 3.2).

По условию имеем (из а2): ω = 0,35 , δ = 0,1.

Так как по условию доверительная вероятность P = 0,996 , то значение t найдем по таблице значений функции Лапласа (приложение 2 в настоящих методических указаниях или в книгах [1], [5])

Ответ: для того, чтобы гарантировать с вероятностью 0,996 границы найденные в пункте а2 объем бесповторной выборки должен составлять 173 студента.

44

Задание 2 в1. Найти вероятность того, что средний стаж работы по специальности всех студентов вуза отличается от среднего их стажа в выборки не более чем на 1 год (по абсолютной величине).

Решение 2 в1. Так как по условию задачи оценивается генеральная средняя (x0 ) и выборка бесповторная, то для нахождения искомой вероятности применим формулу (3.1) в следующем виде:

где по условию δ =1. В качестве средней квадратической ошибки

σ выбираем σ x′(см. табл. 3.1), так как оценивается генеральная средняя и выборка бесповторная. Средняя квадратическая ошибка

Ответ: вероятность того, что средний стаж работы по специальности всех студентов вуза отличается от среднего их стажа в выборки не более чем на 1 год (по абсолютной величине), равна

0,9808.

Задание 2 в2. Найти вероятность того, что доля студентов в вузе, имеющих стаж работы не менее 13 лет отличается от выборочной доли таких же студентов не более чем на 2 года (по абсолютной величине).

Решение 2 в2. Так как по условию задачи оценивается генеральная доля (p) и выборка бесповторная, то для нахождения искомой вероятности применим формулу (1) в следующем виде:

45

где по условию δ = 2 . В качестве средней квадратической ошибки

σ выбираем σω′ (см. таблицу 3.1), так как оценивается генеральная доля и выборка бесповторная. Среднюю квадратическую ошибку выборки согласно таблицы 6 найдем по формуле:

где n =100 – объем выборки,

N = 2000 – объем генеральной совокупности.

Найдем (по исходным данным таблицы 3.3) выборочную долю (ω) студентов, имеющих стаж работы по специальности не менее 13 лет

ω = 12100+8 = 10020 = 0,2 .

Таким образом, средняя квадратическая ошибка выборки примет вид

Тогда искомая вероятность будет равна

Ответ: вероятность того, что доля студентов в вузе, имеющих стаж работы не менее 13 лет, отличается от выборочной доли таких же студентов не более чем на 2 года (по абсолютной величине) равна 1.

46

Тема 4.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. КРИТЕРИЙ χ 2 ПИРСОНА

Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с тем, что число наблюдений ограничено, что произведены именно те, а не другие опыты, давшие именно те, а не другие результаты. Только при очень большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются, и случайное явление обнаруживает в полной мере присущую ему закономерность. На практике мы почти никогда не имеем дела с таким большим числом наблюдений и вынуждены считаться с тем, что любому статистическому распределению свойственны в большей или меньшей мере черты случайности. Поэтому при обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных. Такая задача называется зада-

чей выравнивания (сглаживания) статистических рядов.

Задача выравнивания заключается в том, чтобы подобрать теоретическую плавную кривую распределения, с той или иной точки зрения наилучшим образом описывающую данное статистическое распределение (рис. 4.1).

Задача о наилучшем выравнивании статистических рядов, как и вообще задача о наилучшем аналитическом представлении эмпи-

47

рических функций, есть задача в значительной мере неопределенная, и решение ее зависит от того, что условиться считать «наилучшим». Например, при сглаживании эмпирических зависимостей очень часто исходят из так называемого принципа или метода наименьших квадратов, считая, что наилучшим приближением к эмпирической зависимости в данном классе функций является та-

кое, при котором сумма квадратов отклонений обращается в минимум. При этом вопрос о том, в каком именно классе функций следует искать наилучшее приближение, решается уже не из математических соображений, а из соображений, связанных с физикой решаемой задачи, с учетом характера полученной эмпирической кривой и степени точности произведенных наблюдений. Часто принципиальный характер функции, выражающей исследуемую зависимость, известен заранее из теоретических соображений, из опыта же требуется получить лишь некоторые численные параметры, входящие в выражение функции; именно эти параметры подбираются с помощью метода наименьших квадратов.

Аналогично обстоит дело и с задачей выравнивания статистических рядов. Как правило, принципиальный вид теоретической кривой выбирается заранее из соображений, связанных с существом задачи, а в некоторых случаях просто с внешним видом статистического распределения (гистограммы).

Рисунок 4.1.

48

Аналитическое выражение выбранной кривой распределения зависит от некоторых параметров; задача выравнивания статистического ряда переходит в задачу рационального выбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределениями оказывается наилучшим.

Предположим, например, что исследуемая величина X есть ошибка измерения, возникающая в результате суммирования воздействий множества независимых элементарных ошибок; тогда из теоретических соображений можно считать, что величина X подчиняется нормальному закону:

и задача выравнивания переходит в задачу о рациональном выборе параметров a и σ в выражении (4.1).

Бывают случаи, когда заранее известно, что величина X распределяется статистически приблизительно равномерно на некотором интервале; тогда можно поставить задачу о рациональном выборе параметров того закона равномерной плотности

0,приα > x или β < x,

которым можно наилучшим образом заменить (выровнять) заданное статистическое распределение.

По внешнему виду гистограммы, может быть выдвинуто предположение о показательном законе распределения, тогда можно поставить задачу о рациональном выборе параметров закона Пуассона:

49