§ 3.8. Число e Теорема 3.8.1. Существует предел последовательности .

Доказательство. Сначала докажем лемму

Лемма 3.8.1. (неравенство Бернулли):

Если , то

Доказательство. Используем метод математической индукции. Приимеем:. Предположим, что принеравенство верно:. Тогда при+1 имеем:

)=1+.

Неравенство доказано.

Чтобы доказать существование предела , рассмотрим последовательность . Для членов этой последовательности :

Применим неравенство Бернулли, выбрав :

.

Таким образом,. Так как, то, поэтому рассматриваемая последовательность убывает и ограничена снизу. Значит, существует предел. Так как, то и. Следовательно,существует предел

.

Замечание. Число, равное пределу , обозначается в честь великого математика Л. Эйлера(L. Euler), т.е.

Замечание. Доказанное равенство носит название второго замечательного предела. Сего помощью будут вычислены производные показательной, логарифмической и степенной функции.

Теорема 3.8.2. Имеет место равенство

Доказательство. Докажем сначала, что

Обозначим целую часть отношения,. Тогда справедливы неравенства:. Перепишем их в виде. ТогдаПри этом,

В полученных неравенствах левая и правая части стремятся к e, т.к.

Таким образом, по теореме 3.4.3 получаем, что

Для строгого доказательства того, что , потребуется теорема 4.1.3, доказанная в следующей главе .

Обозначим . Получаем, что

. Выражение пристремится к 0, но не принимает значение 0 в левой проколотой окрестности точки. Обозначивполучаем, что, когдаТогда используя теорему 4.1.3 и равенство

,

получаем, что выражение стремится кe при , т.к.. Теорема доказана.

§ 3.9. Критерий Коши существования предела последовательности, предела функции

 Определение 3.9.1. Пусть задана последовательность и пусть - возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательностьподпоследовательность исходной последовательности.

Теорема 3.9.1. Последовательность имеет пределA тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет предел, равный A.

Доказательство. Поскольку последовательность сама является одной из своих подпоследовательностей ( для которой ), утверждение теоремы очевидно в одну сторону. Обратно, из определения подпоследовательности сразу вытекает, что для любого выполняется неравенство. Если,то для любогосуществуеттакое, что привыполняется неравенство.При этом для любой подпоследовательностипривыполняется неравенство, из которого следует, что. Это означает, что.

Определение 3.9.2. Частичным пределом последовательности называется предел некоторой её подпоследовательности.

Замечание. Теорема означает, что последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет частичный предел и все эти пределы одинаковы.

Теорема 3.9.2. (Лемма Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной бесконечной последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.

Доказательство. Если множество значений , которые принимает последовательность конечное, т.е., то хотя бы одно из значений, обозначим его, она принимает бесконечно много раз, т.е. существует бесконечное множество номеровтаких, что. Поэтому , подпоследовательность. искомая.

Рассмотрим теперь случай, когда множество значений бесконечное. Так как это множество, по условию, ограниченное, по теореме 2.7.1 существует предельная точка этого множества, обозначим её A. Покажем, что существует последовательность такая, что. По определению предельной точки, длясуществует номертакой, что. Положим. Существуеттакое, что. Точки различны,, т.к., а номервыбираем так, чтобы выполнялось неравенство, что можно сделать, так как, по теореме 2.7.2, в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число элементов этого множества. Далее,. Как и раньше, выбираем так, что и. Продолжая этот процесс, получаем последовательностьтакую, что, что означает, что.

Замечание. Отметим, что невзирая на определённое сходство между собой, понятия частичного предела последовательности и предельной точки множества её значений не совпадают. В первом случае доказанной теоремы у множества значений последовательности нет предельных точек, т.к. оно конечное (см. следствие теоремы 2.7.2.) Второй случай доказанной теоремы означает, что предельная точка множества значений последовательности является её частичным пределом.

Определение 3.9.3. Последовательность называетсяфундаментальной, если для любого существует такое число, что для всех, выполнено неравенство.

Теорема 3.9.3. (Критерий Коши для последовательности) Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда эта последовательность является фундаментальной.

Доказательство. Докажем сначала необходимость, т.е. что если последовательность имеет предел, то она фундаментальная. Из определения предела следует, что для любого существует такое число, что для всех,имеем:,.Используем известное неравенство для модулей: . Обозначив, получаем:+ т.е. из существования предела последовательности следует ее фундаментальность.

Доказательство достаточности проведём в три этапа. Во-первых,докажем, что из фундаментальности последовательности следует ее ограниченность. Действительно, пусть . Тогда существуеттакое, что для всехимеет место неравенство. Положим . Тогда для всех , т.е. . Пусть. Из этих неравенств тогда следует, что при имеем: . Положим . Теперь для всехимеет место неравенство , т.е. последовательность ограниченная . Во-вторых, по теореме 3.9.2 существует подпоследовательность такая, что она имеет некоторый предел , т.е. . В-третьих, докажем, что вся последовательность имеет тот же предел, т.е . что. Доказано, чтои дано, что.

Если и если, то, поэтому , что и требовалось доказать.

Теорема 3.9.4 .(Критерий Коши для функции) Условие Коши : для любогосуществует число , такое, что для любых из разность значений функции в этих точках по абсолютной величине меньше, равносильно тому, что существует предел этой функции при.

Доказательство. Сначала докажем, что из существования предела следует условие Коши.

Пусть существует предел . Тогда, . Так как , то . Следовательно,

Чтобы доказать достаточность сначала дадим ещё одно определение предела функции при и докажем теорему о равносильности двух определений предела.

Определение 3.9.4.( предела функции при по Гейне ). Говорят, что функция имеет при предел, если для любой последовательности такой, чтои такой, что для всехвыполнено неравенство, существует предел

Теорема 3.9.5. Определение 3.1.3, т.е. определение предела по Коши, равносильно определению 3.9.4 предела по Гейне.

Доказательство. Пусть сначала функция имеет предел по Коши.

Рассмотрим произвольную последовательность такую, что и такую, что для всехвыполнено неравенство. По определению предела по Коши,

.

По определению предела последовательности, .Значит, при выполняется условие, из которого сразу следует неравенство, означающее, что, Тем самым, предел этой функции по Гейне также существует.

Предположим теперь, что предел по Коши не существует и докажем, что не существует и предел по Гейне. По предположению, существует такое число, что для любого числасуществует такая точка, что. Последовательно выбирая в качествечисла, находим точкитакие, что. Эти точки представляют собой последовательность точек, удовлетворяющую всем условиям, входящим в определение предела по Гейне, однако для этой последовательности условиене выполнено.

Вернёмся к доказательству теоремы 3.9.4 и докажем , что из условия Коши вытекает, что функция имеет предел по Гейне.

Действительно, возьмём любую последовательность такую, чтои такую, что для всехвыполнено неравенство. Рассмотрим соответствующую последовательность. Зафиксируеми выберем соответствующеес помощью условия Коши. Так как, имеем:. Далее, прии ,по условию Коши ,.

Значит, фундаментальная последовательность. По теореме 3.9.3 существует предел последовательности, обозначим его

Осталось доказать, что если взять любую другую последовательность такую, чтои такую, что для всехвыполнено неравенство, то.

Для этого рассмотрим последовательность . Это – последовательность точек, сходящаяся к точкеи не принимающая значение, согласно своему определению. Поэтому последовательность значенийтакже имеет предел, по доказанному выше. Тогда по теореме 3.9.1 предел этой последовательности равен пределу подпоследовательностии пределу подпоследовательности, равному.

Теорема доказана.