Глава 3. Теория пределов

Понятие предельного перехода является основным в курсе математического анализа. С его помощью определяются производная функции и интеграл от функции. Предельный переход позволяет строить обобщения математических понятий, например, с его помощью строится несобственный интеграл. Предельный переход – непростое понятие и цель этой главы состоит в том, чтобы дать его подробное описание.

§ 3.1. Предел последовательности. Предел функции

Определение 3.1.1. Если каждому сопоставлено число, то говорят, что задана последовательность Иными словами, последовательность представляет собой отображение множества натуральных чисел во множество действительных чисел.

Некоторые последовательности обладают очень важным свойством – они имеют предел. Дадим определение этого свойства.

Определение 3.1.2. Последовательность имеет предел, равный числу тогда и только тогда, когда для любого существует числотакое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Удобно записывать это определение с помощью логических символов: .

Для обозначения предела последовательности используется символ: .

Примеры. 1) Если для всех n, то

Доказательство. Для любого и любого, и любого n .

2) Если , то

Доказательство. Пусть . Возьмем. Тогда если, тои, поэтому.

Замечание. Не следует отождествлять понятие предела последовательности и предельной точки множества значений, принимаемых последовательностью. В первом из приведённых выше примеров последовательность имеет предел, но множество её значений состоит из одной точки и не имеет предельных точек. Во втором примере предельная точка множества значений – точка 0 – совпадает с пределом последовательности. Может оказаться и так, что предельная точка множества значений не является пределом последовательности( а является так называемым частичным пределом последовательности). Определение частичного предела и соответствующий пример будут приведены ниже.

Перейдём к определению понятия предела функции. Пусть определена в некоторой проколотой окрестноститочкиа. (Отметьте, что функцияможет быть не определена в самой точке

Определение 3.1.3. Говорят, что функцияимеет при предел, равный числу А , когда для любой окрестноститочкисуществует проколотая окрестностьточкитакая, что выполняется включение, что равносильно тому, что для любого. выполняется. С помощью логических символов это определение записывается так:

Данное определение называется определением предела функции по Коши.

Приведённое определение носит общий характер. Точно такое же определение имеют понятия предела функции нескольких переменных, предела отображения. Для того, чтобы сделать это определение более удобным, переформулируем его для функций одной переменной, взяв вместо произвольной окрестности рассматривать при произвольноми, соответственно, вместопроколотую окрестность. Тогда оно примет вид:

.

Вспоминая, что условие равносильно неравенствам, а условиеравносильно условию, получаем равносильную определению 3.1.3 запись определения предела, так называемое определение предела на "языке":

.

Следующая теорема означает, что понятие предела хорошо определено, т.е. если предел существует, то он определён однозначно.

Теорема 3.1.1. Если предел последовательностисуществует, то он единствен, т.е. еслии если, то

Если предел функции присуществует, то он единствен, т.е. если,, то.

Доказательство. Предположим, что последовательность имеет своим пределом число, а также имеет пределом число,. Тогда выполняются утверждения: и При получаем, с одной стороны, что при выполняется неравенство. Аналогично, поскольку - тоже предел, получаем, что при выполняется неравенство. Пусть . Тогда при выполняются условияи, поэтому выполняются и оба эти неравенства, из которых следует, что

Полученное противоречие доказывает первое утверждение теоремы.

Доказательство второго утверждения этой теоремы проводится вполне аналогично. Пусть функция при два различных предела,и . Тогда, применяя определения предела приполучаем, что для существуют числаи такие, что при выполняется неравенство , а привыполняется неравенство. Тогда положим и потребуем, чтобы выполнялись неравенства . При этом

Полученное противоречие доказывает теорему.