Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 3 новая 1012.docx

Скачиваний:

Добавлен:

08.04.2015

Размер:

372.72 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

§ 3.2. Бесконечно малые величины

Определение 3.2.1. Последовательность называется бесконечно малой, если . Аналогично, функция- бесконечно малая при, если.

Теорема 3.2.1. Предел последовательности существует и равен числу А тогда и только тогда, когда можно представить в виде , гдебесконечно малая последовательность.

Аналогично, тогда и только тогда, когда , где - бесконечно малая при функция.

Доказательство. Проведем его для случая функций. Для предела последовательности оно вполне аналогично. Итак, обозначим . Условие равносильно тому, что , что равносильно условию, что, в свою очередь, означает, что - бесконечно малая при .

Определение 3.2.2. Функция называется ограниченной при , если она ограничена в некоторой проколотой окрестности, т.е. если существует такое число, что для всех из окрестностивыполнено неравенствоВ виде логических формул это выглядит так:.

Теорема 3.2.2. (Свойства бесконечно малых)

Если и- бесконечно малые при, то алгебраическая сумма -тоже бесконечно малая при;
Если - бесконечно малая и- ограниченная при, то произведениеесть бесконечно малая при;
Еслии- бесконечно малые при, то произведение- тоже бесконечно малая при.

Бесконечно малые последовательности обладают вполне аналогичными свойствами:

Если и- бесконечно малые последовательности, то алгебраическая сумма -тоже бесконечно малая последовательность;
Если - бесконечно малая последовательность, а- ограниченная последовательность (т.е.: ), то- бесконечно малая последовательность;
Если и- бесконечно малые последовательности, то произведение- бесконечно малая последовательность.

Доказательство проводим для случая бесконечно малых функций.

Зафиксируем произвольное и рассмотрим число . Тогда, по определению предела, справедливы утверждения: существует число такое, что из неравенствследует неравенствои существует числотакое, что из неравенствследует неравенство. Пусть. Тогда из неравенстввытекают неравенства, из которых следуют неравенстваи.Следовательно, при имеют место неравенства

означающие справедливость первого утверждения теоремы.

Пусть ограничена при, т.е. в некоторой проколотой окрестностис некоторой постояннойдля любоговыполняется неравенство. Зафиксируем произвольное и рассмотрим число . Тогда существует такое число что из неравенств вытекает неравенство. Пусть. Тогда из неравенстввытекают неравенства, из которых следуют неравенстваи. Следовательно, приимеем:.
Сначала докажем лемму.

Лемма 3.2.1. Если - бесконечно малая при , то она

ограничена при . (Обратное утверждение неверно!).

Доказательство: возьмем и получим, чтосуществует числотакое, что для всехиз выполнено неравенство. Это означает, что ограничена при. Лемма доказана.

Вернёмся к теореме. По доказанной лемме ограничена при. Осталось применить свойство 2) бесконечно малых, доказанное выше.

§ 3.3. Арифметические свойства предела

Теорема 3.3.1. (Арифметические свойства предела)

Пусть две функции и, имеют при, соответственно, пределыи. Тогда предел суммы, разности, произведения, и, если, частного этих функций равны соответственно сумме, разности, произведению и частному значений этих пределов, т.е.

а если, то.

Аналогичная теорема верна и для последовательностей. Если , , то

а если, то и

Доказательство. По теореме 3.2.1 из условия следует, что

где бесконечно малые приТогда.

По теореме 3.2.2 алгебраическая сумма бесконечно малых- бесконечно малая, т.е. , по теореме 3.2.1.

Перейдем к произведению

Последние три слагаемых - бесконечно малая величина припо свойствам 2 и 3 бесконечно малых. По свойству 1 их сумма – бесконечно малая при. По теореме3.2.1, .