§ 3.6.Первый замечательный предел

Первый вопрос, который обычно возникает: чем же замечателен этот предел? Ответ прост – этот предел используется при вычислении производных тригонометрических функций.

Теорема 3.6.1. (первый замечательный предел)

.

Замечание. При доказательстве этой теоремы нельзя применять правило Лопиталя, или формулу Тейлора, т.к. хотя это и даст верный результат, но будет являться логической ошибкой, потому, что при вычислении производной функции уже используется то, что и в рассуждениях получается порочный логический круг.

Доказательство.

Функция четная. Поэтому если доказать, что, то и, и по теореме 3.5.1. тогда. В определении предела приможно дополнительно требовать выполнение условия.

Действительно, в определении предела требуется, чтобы для любого существовало хотя бы какое-нибудь число для которого для всех выполняется неравенствоЕсли же мы найдем число, для которого выполняется дополнительное условиеи для которого для всехвыполняется неравенство, то, тем самым, хотя бы какое-нибудьбудет найдено.

Итак, рассматриваем область . Рассмотрим окружность единичного радиуса и рассмотрим площади треугольникови сектора. Имеем:

.

Далее, справедливы неравенства

означающие, что привыполнены неравенства

В свою очередь, эти неравенства равносильны неравенствам

Докажем, что Для этого заметим, чтоМы только что доказали, что привыполняется неравенствоТак как, по теореме 3.4.3 и, значит, . Снова применяем теорему 3.4.3, из которой следует, что и, значит,.

§ 3.7. Предел монотонной ограниченной функции

 Определение 3.7.1. Последовательность называетсянеубывающей , если для всех выполняется неравенство. Она называетсявозрастающей, если выполняется неравенство. Последовательностьназываетсяневозрастающей , выполняется неравенство. Она называетсяубывающей, если выполняется неравенство.Общее название всех таких последовательностей –монотонные последовательности.

Определение 3.7.2. Функция , определенная на промежуткеназывается:неубывающей(возрастающей) на, если для всехиз неравенстваследует неравенство(). Она называетсяневозрастающей(убывающей) на, если изследует(). Общее название для этих случаев –монотонные на Х функции.

Теорема 3.7.1 (К. Вейерштрасс)

1. Если последовательность не убывает и ограничена сверху, то существует .

2. Если последовательность не возрастает и ограничена снизу, то существует .

Доказательство. Проведем доказательство первого случая. Второй случай совершенно аналогичен. По условию, множество значений, которые принимает последовательность , ограничено сверху. По теореме 2.5.1. существует его точная верхняя грань A. Докажем, что . Для этого возьмем произвольное. По определению А, любое меньшее число, в частности число , уже не является верхней гранью множества значений, принимаемых последовательностью. Значит, при некоторомвыполняется неравенствоили Кроме того, , т.к.А – верхняя грань множества значений . Итак,. Но при выполнено неравенство поэтому. Таким образом, для любогосуществует такое, что для всех выполняется неравенство . Поэтому .

Теорема 3.7.2 (К. Вейерштрасс)

1. Еслине убывает наи ограничена сверху на, то существует.

2. Еслине убывает наи ограничена снизу на, то существует.

3. Еслине возрастает наи ограничена сверху на, то существует.

4. Еслине возрастает наи ограничена снизу на, то существует.

Доказательство. Оно вполне аналогично теореме 3.7.1. Для полноты изложения докажем, например, случай 2. Поскольку множество значений, принимаемых на интервале ограничено снизу, существует . Докажем, что . Пусть . По определению точной нижней грани множества, числоуже не является нижней гранью множества значений на , поэтому существует такое число, что. Но тогда для всехимеем, откуда. Значит, для всякогонайдено числотакое, что для всехвыполняется неравенство, т.е. .

Следствие. Если - монотонная на функция, то для любого существуют и.

Доказательство. Достаточно применить теорему 3.7.2 к интервалам и.