shpora

№1 Графики и свойства основных элементарных функций.Показательные функции:Определение. Функция, заданная формулой у=а^х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием А.Основные свойства показательной функции-Область определения — множество (R) всех действительных чисел.Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.Является функцией общего вида.Рис. 1 График функции , на интервале x Î [-3;3]Степенные функции: Функция вида у(х)=хⁿ, где n – число Î R, называется степенной функцией. Число n может принимать различные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола). Степенная функция у=х². D(x)=R – функция определена на все числовой оси. E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).В зависимости от числового множителя, стоящего перед х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз. Рис. 3 График функции , на интервале x Î [-3;3] Степенная функция у=х³.График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами: D(x)=R – функция определена на все числовой оси; E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0). Функция возрастает на всей области определения. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).Рис. 4 График функции , на интервале x Î [-3;3].В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.  Степенная функция с целым отрицательным показателем:Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n; E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.Рис. 5 График функции , на интервале x Î [-3;3].Степенная функция с дробным показателем Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами:D(x) Î R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ; E(y) Î (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.Функция проходит через начало координат в любом случае. Рис. 6 График функции , на интервале x Î [0;3].Логарифмические функции: Логарифмическая функция у = log_a x обладает следующими свойствами- Область определения D(x) Î (0; + ∞).Область значений E(y) Î ( - ∞; + ∞).Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.График функции у = log_a x может быть получен из графика функции у = а^х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.-Рис. 9 График функции  ; на интервале x Î [0;5].Тригонометрические функции: Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная. Функция y = sin (х).Область определения D(x) Î R.Область значений  E(y) Î [ - 1; 1].Функция периодическая; основной период равен 2π.Функция нечетная.Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z. График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11. -Рис. 11 График функции  ; на интервале x Î [-2;2]Функция y = cos(х).Область определения D(x) Î R.Область значений E(y) Î [ - 1; 1].Функция периодическая с основным периодом 2π.Функция четная.Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ.График функции у = соs (х) изображен на рисунке 12. -Рис. 12 График функции  ; на интервале x Î [-2;2].Функция y = tg х.Область определения: D(x) Ï π/2 + πk, kÎZ.Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞). π- основной период функции.Функция нечетная.Функция возрастает на промежутках ( -π/2 +πn;π/2 +πn).График функции у = tg х изображен на рисунке 13. -Рис. 13 График функции .Функция y = ctg х.Область определения функции: D(x) Ï  xπ/2 +πk, kÎZ..Область значений функции E(y) Î (- ∞; + ∞).Функция периодическая с основным периодом π.Функция нечетная.Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn).График функции у = ctg х изображен на рисунке 14. -Рис. 14 График функции  .

8. Функции нескольких переменных и их непрерывность. Определение- пусть имеется n переменных величин,и каждому набору их значение (х1,х2,…хn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение множества переменной величины z. Тогда говорят,что задана функция нескольких переменных z= f(x1,x2,…хn). Переменные х1,…хn, называются независимыми переменными, или аргументами, z – зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество Х называется областью определения функции. Очевидно, Х- подмножество n-мерного пространства. Функция z= a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n+b, где а1,…аn, b- постоянные числа, называется линейной . Её можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х1,..хn. Функция ( b_ij- постоянные числа) называется квадратической. В отличие от предыдущего примера квадратичная функция не является сепарабельной, т.е. не раскладывается на сумму функций одной переменной. Логарифмическая функция , где аi>0, xi>ci>=0. Функция постоянной эластичности , где аi>0, 0<bi<1, xi>ci>=0. Производственная функция – z-величина общественного продукта,х1-затраты труда, х2- объем производственных фондов),полагая для простоты n=2: 1) Функция Кобба-Дугласа – z =b₀x₁^b1x₂^b2, 2) функция с постоянной эластичностью замещения: z= e0 [e1x1^-в+e2x2 ^-в].

Непрерывность- Функция z= f(x,y) называется непрерывной в точке (х0,у0),если 1) она определена в точке (х0,у0), 2) имеет конечный предел при х→х0 и у→у0, 3) этот предел равен значению функции в точке (х0,у0). Т.е. lim f(x,y)= f(x0, y0)

^х→0

^у→0

2. предел функции. Асимптоты графика функции.Число А называется пределом функции y=f(x) при x→∞, если для любого сколько угодно малого положительного числа Е, т.е. Е>0,Найдется такое положительное число S, зависящее от Е, что для всех таких х которые по модулю больше S, справедливо неравенство: |f(x) - A|<E; Число А называется пределом функции y=f(x) при x→х₀, если для любого сколько угодно малого положительного числа Е, т.е. Е>0,Найдется такое положительное число S, зависящее от Е, что для всех таких х≠х₀, которые удовлетворяют след неравенству (х- х₀)< S, справедливо неравенство: |f(x) - A|<E;

9. Производные функции нескольких переменных. Частная производная функция нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции, приращению рассматриваемой независимой переменно, когда приращение стремится к нулю. Определение. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Пусть , тогда ,  .Замечание. Так как частная производная функции 2-х переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при постоянном значении другой переменной, то вычисляют частные производные по формулам и правилам дифференцирования функции одной переменной. Частное приращение функции Z переменной y по переменной x:Δ_xZ = f(x+Δx, y)-f(x,y).Частное приращение функции Z переменной x по переменной y Δ_yZ = f(x, y+Δy)-f(x,y).Полное приращение функции Z: ΔZ = f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y)

3.Основные теоремы о пределах. Асимптоты графика функции. функция не может иметь больше одного предела,предел алгебраической суммы равен сумме пределов,предел произведения(частного 2х ф-ий) конечного числа функций равен произведению (частному этих ф-ий при усл. Что предел делителя не равен 0)пределов этих функций  Предел константы равен самой этой константе:  с = с. Асимптоты графика функции. Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если .Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если  Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

10 .Дифференциалы функции нескольких переменных. Дифференциалом дифференцируемой в точке М(x₁,x₂,...,xп) функции Z=f (x₁,x₂,...,xп) называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке М . Если все коэффициенты А в приращении функции в точке независимой переменной можно понимать любое число. Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращению независимой переменной. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных- dz = z'_x x+ z’_y ∇y. Теорема: если частные производные функции z’_y (x,y) существует в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z= f( x, y) дифференцируется в этой точке.

4.Непрерывность функции в точке и на интервале. О1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀ , если она определена в т х₀, т.е существует f(x₀) ,сущ предел ф-ии lim f(x) x→х₀,этот предел равен значению ф-ии в этой точке lim f(х₀) = f(x₀) x→х₀.О2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

11. Поиск экстремума функции одной переменной. 1.Найти производную функции.2. Приравнять эту производную к нулю и решить уравнение. Корни этого уравнения будут критическими точками.3. Определить характер каждого критического значения аргумента, для этого, выясним меняет ли знак производная при переходе аргумента через данное критическое значение. Если меняется то критическая точка является экстремума, если нет, то у этой точки нет мах и мин.

5.Точки разрыва первого и второго рода. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке.Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;Эти односторонние пределы конечны.При этом возможно следующие два случая:Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва.Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 

12. Поиск экстремума функции двух переменных.1. Найти частные производные функции z’_x и z’_{y ,} 2. Решить систему уравнений z’x=0, z’y = 0 и найти критические точки функции.,3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличие экстремумов. 4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

6. Производная и дифференциал.Пусть у=f(х) определена на промежутке Х, производной функции у=f(х) называется предел отношения приращения функции ∆у к приращению функции ∆х, когда ∆х⇨0.Дифференциалом функции называется, главное линейное отношение ∆х часть приращения функции, равное произведению производной на приращение независимой переменной.

13. Неопределенный интеграл, основные теоремы. Определение: совокупность всех первообразных у=f(х) на промежутке Х, называется неопределенным интегралом.Основные теоремы:производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,дифференциалом неопределенного интеграла является подынтегральное выражение,неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до последнего слагаемого,постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,интеграл от алгебраической суммы равен сумме интегралов,интеграл от произведения равен произведению интегралов,интеграл от частного равен частному интегралов.

7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: : теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа.Теорема Ферма: если дифференцируемая на промежутке Х функция у=f(х) достигает своего наибольшего или наименьшего значения в точке х0 этого промежутка, то производная этой точки равна 0.Теорема Ролля: пусть функция у=f(х) удовлетворяет условиям:непрерывна на [a,b],является дифференцируемой на это отрезке,на концах отрезка принимает равные значения,тогда внутри отрезка существует хотя бы одна точка.Теорема Лагранжа: пусть функция у=f(х) удовлетворяет условиям:непрерывна на [a,b],является дифференцируемой на это отрезке,тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка Е∈[a,b] в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке: f'(E)=(f(b)-f(a)/(b-a)).

14. Определенный интеграл, основные теоремы. Определение: определенным интегралом от непрерывной функции у=f(х) на отрезке (а,в) называют приращение какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке. Теорема о среднем: если функция у=f(х) непрерывна на отрезке (а,в), где а больше в, то всегда найдется такое значение Е принадлежащие отрезку (а,в), что интеграл от а до в , будет представлен в виде b ∫f(x)dx=f(E)(b-a) a

Теорема Ньютона-Лейбница: пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке (а,в) и F(х) – первообразная функции f(х) на отрезке (а,в), тогда определенный интеграл для функции у=f(х) на отрезке (а,в) равен приращению первообразной F(х) на отрезке (а,в)

∫f(x)dx=F(b)-F(a) . Если  непрерывна на отрезке  и  — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Геометрический смысл Определённый интеграл  численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).

15. Методы интегрирования: интегрирование подстановкой, интегрирование по частям, интегрирование рациональных функций.

Интегрирование методом разложения. Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью таблицы или других методов. Например  (х³ + 3sinx – 8) dx =  х³ dx + 3sinx dx – 8dx =< используя формулы из таблицы>= х⁴/4  3 cos x – 8 х + С. Интегрирование методом замены переменных.Интегрирование этим методом заключается в приведении данного интеграла к новому путем замены переменной интегрирования х на новую переменную z. Пусть х = g(z), тогда dx = g( z)dz. Поэтому  f(х) dx =  f [g(z)] g( z)dz = Ф (z) +С = Ф [g^-1(х)] + С. Интегрирование по частям. Пусть u(x) и v(x) – две функции от х, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула:  udv = uv -  vdu. Интегрирование рациональной дроби . Задача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x²+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p²/4>0.

16. Прямая линия на плоскости. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых.

Уравнение вида F(x,y)=0 есть уравнение линии на плоскости, если координаты всех точек, лежащих на этой линии удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не лежащих на этой линии – не удовлетворяют

Уравнение прямой, заданное уравнением первой степени общего вида Ax+By+C=0, называется уравнением прямой общего вида

Рассмотрим случаи:

• В=0 → Ах+С=0 → прямая параллельная оси ОУ.

• В≠0 → Ву= -Ах-С → y=kx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k=-A/B, b=- C/B.

Исследуем уравнение (1).

• если в=0, →у=кх - уравнение пучка прямых, проходящих через начало координат.

• если к=0, →у=в прямая параллельная оси Ох.

• если к=0, в=0, →у=0 - уравнение оси Ох.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох вокруг начала координат О, чтобы прямая стала параллельна этой оси.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (уравнение пучка прямых)

Любую прямую не параллельную оси Оу можно записать в виде

у=кх+в.Пусть прямая проходит через точку М(х0,у0).

тогда справедливо у0=кх0+в. Вычтем у-у0=к(х-х0).Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

• М1(х1,у1) →у-у1=к(х-х1)

• М2(х2,у2) →у-у2=к(х-х2)

Поделим почленно

Условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов.

tgφ1=tgφ2 или k1=k2.Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1,k1k2=-1

17. Эллипс: определение и вывод канонического уравнения.

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина равная 2а.

F₁(c,0), F₂(-c,0) – фокусы эллипса. A₁(a,0),A₂(-a,0), B₁(0,b), B₂(0,-b) – вершины эллипса

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF₁ + MF₂ = 2a

Т.к. .То получаем _, Или

1

18. Гипербола: определение и вывод канонического уравнения.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности

расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению

гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂

=±2a,

19. Парабола: определение и вывод канонического уравнения.

• Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

 (или , если поменять местами оси).

20. Прямая и плоскость в пространстве.

Точка пересечения прямой с плоскостью.

Пусть плоскость Q задана уравнением общего типа: Ax+By+Cz+D=0, а прямая L в параметрическом виде: x=x₁+mt, y=y₁+nt, z=z₁+pt, тогда чтобы найти точку пересечения прямой L и плоскости Q, нужно найти значение параметра t, при котором точка прямой будет лежать на плоскости. Подставив значение x, y, z, в уравнение плоскости и выразив t, получим

Значение t будет единственным, если прямая и плоскость не параллельны.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Рассмотрим прямую L: и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0. Прямая L и плоскость α: а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой  и нормальный вектор  плоскости коллинеарны, т. е.

б) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда векторы  и  перпендикулярны, т. е.  и Am + Bn + Ср = 0.

Угол между прямой и плоскостью.

Угол α между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой вычисляется по формуле:

Пучок плоскостей

Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L, называется пучком плоскостей, а прямая L - осью пучка. Пусть ось пучка задана уравнениями

Почленно умножим второе уравнение системы на постоянную и сложим с первым уравнением: A₁x+B₁y+C₁z+D₁+ λ(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0.

Это уравнение имеет первую степень относительно х, у, z и, следовательно, при любом численном значении λ определяет плоскость. Так как данное уравнение есть следствие двух уравнений, то координаты точки, удовлетворяющие этим уравнениям будут удовлетворять и данному уравнению. Следовательно, при любом численном значении λ данное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую. Полученное уравнение есть уравнение пучка плоскостей.

Уравнение вида F(x,y)=0 есть уравнение линии на плоскости, если координаты всех точек, лежащих на этой линии удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не лежащих на этой линии – не удовлетворяют

Уравнение прямой, заданное уравнением первой степени общего вида Ax+By+C=0, называется уравнением прямой общего вида

Рассмотрим случаи:

• В=0 → Ах+С=0 → прямая параллельная оси ОУ.

• В≠0 → Ву= -Ах-С → y=kx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k=-A/B, b=- C/B.

Исследуем уравнение (1).

• если в=0, →у=кх - уравнение пучка прямых, проходящих через начало координат.

• если к=0, →у=в прямая параллельная оси Ох.

• если к=0, в=0, →у=0 - уравнение оси Ох.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох вокруг начала координат О, чтобы прямая стала параллельна этой оси.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (уравнение пучка прямых)

Любую прямую не параллельную оси Оу можно записать в виде

у=кх+в.

Пусть прямая проходит через точку М(х0,у0).

тогда справедливо у0=кх0+в. Вычтем у-у0=к(х-х0)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

• М1(х1,у1) →у-у1=к(х-х1)

• М2(х2,у2) →у-у2=к(х-х2)

Поделим почленно

21. Системы линейных уравнений. Обозначим через  любое из множеств  или . Системой линейных уравнений (л.у.) над  называется совокупность (набор) из нескольких уравнений от одного и того же набора переменных (неизвестных) :

Здесь числа  и  — из  ; они называются коэффициентами системы. Первый индекс у коэффициента отвечает за номер уравнения, а второй — за номер переменной. Относительно числа  уравнений не делается ни какого предположения: оно может быть меньше, больше или равно числу переменных . Если  то система называетсяпереопределенной. Решением системы уравнений называется любой набор значений переменных , обращающий каждое из уравнений в истинное равенство. Система называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.

все возможности для произвольной системы ограничиваются следующими вариантами:

1. система совместна и имеет единственное решение;

2. cистема совместна и имеет бесконечное множество решений;

3. cистема несовместна.

При этом все решения будут находиться в том же множестве , что и коэффициенты системы.

22. Матрицы и их классификация.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк

одинаковой длины.

Классификации:

*Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

*Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.

*Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю,

называется диагональной.

*Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1,

называется единичной. Обозначается буквой Е.

*Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю,

называется треугольной.

*Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

23. Операции над матрицами.

Сложение и вычитание матриц - одно из простейших действий над ними, т.к. необходимо сложить или отнять соответствующие элементы двух матриц. Главное помнить, что складывать и вычитать можно только матрицыодинаковых размеров, т.е. тех, у которых одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Например, пусть даны две матрицы равного размера 2х3, т.е. с двумя строками и тремя столбцами:

Сумма двух матриц:

Разность двух матриц:

Умножение матрицы на число - процесс, заключающийся в умножении числа на каждый элемент матрицы.

Например, пусть дана матрица А:

Умножим число 3 на матрицу А:

Умножение двух матриц возможно только при условии, что число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй. Новая матрица, которая получится при умножении матриц, будет состоять из количества строк, равное количеству столбцов первой матрицы и количества столбцов, равное количеству строк второй матрицы.

Предположим есть две матрицы размерами 3х4 и 4х2, т.е. в первой матрице 3 строки и 4 столбца, а во второй матрице 4 строки и 2 столбца. Т.к. количество столбцов первой матрицы (4), равно количеству строк второй матрицы (4), то матрицы можно перемножить, новая матрица будет иметь размер: 3х2, т.е. 3 строки и 2 столбца.

Можно представить все это в виде схемы:

После того как Вы определились с размером новой матрицы, которая получится при умножении двух матриц,  можно приступить к заполнению этой матрицы элементами. Если Вам надо заполнить первую строчку первого столбца этой матрицы, то надо каждый элемент первой строки первой матрицы умножать на каждый элемент первого столбца второй матрицы, если будем заполнять вторую строку первого столбца соответственно будем брать каждый элемент второй строки первой матрицы и умножать на первый столбец второй матрицы и т.д.

24. Определители и их свойства. Теорема Лапласа. Понятие определителя n-го порядка

Пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n горизонтальных и в nвертикальных рядах. С помощью этих чисел по определённым правилам вычисляют некоторое число, которое называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:

  Горизонтальные ряды в определителе (1) называют строками, вертикальные – столбцами, числа -элементами определителя (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., n;  j = 1, 2, ..., n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы

называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.Определителем n-го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n! членов, каждый из которых – произведение n его элементов, взятых только по одному из каждой n строк и из каждого nстолбцов квадратной таблицы чисел, причём половина (определённых) членов берётся с их знаками, а остальные – с противоположными.Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков. Определитель первого порядка – это сам элемент  т.е.  . Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:

где- элементы определителя, а и - его члены.Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся член, являющийся произведением элементов главной диагонали, а с противоположным – член, представляющий собой произведение элементов противоположной диагонали.Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:  Формула (3) показывает, что со своими знаками берутся члены, которые являются произведением элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – члены, являющиеся произведениями элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны. Свойства определителя n-го порядка Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится,Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. Доказательство очевидно. В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль. Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный. Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится:

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится:

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8. Теорема Лапласа Пусть в определителе  порядка n выбраны нами k строк. Тогда сумма произведений миноров k-го порядка, содержащихся в указанных строках, на соответствующие алгебраические дополнения равна этому определителю. Теорему проиллюстрируем на примере определителя четвёртого порядка. Выберем первую и третью строки, из них составим миноры и умножим их на соответствующие алгебраические дополнения:

 Теорема Лапласа позволяет сводить вычисление определителя n-го порядка к вычислению нескольких определителей порядка k < n . Этих новых определителей оказывается довольно много и поэтому теорему Лапласа применять целесообразно лишь в том случае, когда в определителе можно так выбрать k строк, что многие из миноров k-го порядка, расположенных в этих строках, будут равны нулю.

25 Обратная матрица: определение и алгоритм вычисления.Обратная матрица. Для каждого числа  существует обратное число  такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.Определение. Матрица  называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:. Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Алгоритм вычисления обратной матрицы.1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица  - вырожденная и обратной матрицы  не существует. Если , то матрица  невырожденная и обратная матрица существует.2. Находим матрицу , транспонированную к .3. Находим алгебраические дополнения элементов  и составляем из них присоединенную матрицу .4. Составляем обратную матрицу по формуле    .5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

26. N-мерное линейное векторное пространство. N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х₁,х₂,…х_n) , где х_i – i-я компонента вектора Х. Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. Х=У, если x_i=y_i, i=1…n. Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор Z=X+Y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. z_i=x_i+y_i , i=1…n. Произведением вектора Х на действительное число λ называется вектор V=λX, компоненты которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора Х, т.е. v_i=λx_i , i=1…n.