10.3.3. Свойства матрицы Якоби. Якобиан

Предположим, что и что, в свою очередь,Это приводит к сложному отображению (или композиции отображений) , где использованы краткие записи , ,, , .

Для этого отображения, по теореме о производной сложной функции, , поэтому имеет место равенство: .

В случае, когда , определитель матрицы Якоби

называется якобианом отображения.

По доказанному, в случае композиции отображений ,, выполняется равенство. Если отображение имеет обратное отображение, т.е. , то, т.е. , если . Эта формула обобщает правило для производной обратной функции : , если.

Отметим важное правило для вычисления якобиана в случае ,, ,,. Доказательство этого правила состоит в применении правила дифференцирования сложной функции и последующих алгебраических преобразований. Ввиду громоздкости мы его опускаем.

§10.4.Геометрические приложения

10.4.1. Касательная плоскость

Пусть дифференцируема в точке. Докажем, что существует касательная плоскость к этой поверхности в точкеи что она задается уравнением

. (14).

По аналогии с одномерным случаем,( напоминание: прямая называется касательной к кривой, заданной уравнением в точке , если расстояние от точки до этой прямой представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чемпри. При этом касательная имеет уравнение), будем называть плоскость касательной к поверхности в точке , если расстояние от точкидо этой плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чемпри.

Рассмотрим некоторую плоскость, проходящую через точку :(15)

Из курса аналитической геометрии известно, что расстояние от точки поверхности до плоскости (15) равно(16)

(вспомните про нормальное уравнение плоскости).

Если дифференцируема в точке, то положим в (15) (17)

и заметим, что

, (18)

где при. Тогда из (15)- (18) следует, что расстояние от рассматриваемой точки до плоскости есть,

что представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем .

Обратно, если есть касательная плоскость (15), т.е. ,

где прито, раскрывая модуль, получаем, что,

где при, т.е.- дифференцируемая в точкефункция и.

10.4.2. Производная по направлению, градиент

Пусть мы снова рассматриваем график функции и сечения этой поверхности плоскостями, проходящими через точкуплоскости OXY и параллельными оси Z. В сечениях получаются кривые, проходящие через точку. Проекция такой кривой на плоскость OXY есть прямая линия, проходящая через точку. Будем обозначать направляющий вектор этой прямой через , а точки прямой – буквами. Введём понятие величины отрезка :

длине отрезка со знаком “+”, еслииимеют одинаковые направления;

длине отрезка со знаком “-”, еслииимеютразные направления;

Предположим теперь, что мы рассматриваем некоторую плоскость, на ней фиксируем точку и направление. Пусть для этой точки плоскости определена величина- функция от точки .

Важно отметить, что пока мы не вводим никакой системы координат (точки на плоскости, направления и функции от точек можно определить без системы координат). Например, температуру воздуха в данной точке обычно просто измеряют термометром, не задумываясь о системе координат в пространстве. Направление тоже часто указывают, не вводя координаты.

Рассмотрим теперь точки , лежащие на прямой, проходящей через в указанном направлениии соответствующую величину; если существует предел этой величины при стремлении к вдоль прямой, то он называется производнойфункции в точке по направлениюи обозначается. Как мы видим, в определении производной по направлению координаты не участвовали. Однако для получения простой формулы для вычисления этой производной удобно ввести систему координат. Итак, пусть имеет координаты, – координаты ,имеет координаты. Тогда вводя параметризацию,, для прямой, соединяющейс , получаем:

(т. к. мы предположили, что – дифференцируема в)

При и. Поэтому (19)

Аналогично, в случае 3-х переменных (20)

Скалярное произведение в правых частях (19) или (20) можно представить, как (поскольку ), где- угол междуи заданным направлением .

Мы видим, что выражениеимеет наибольшую величину, когда. Это позволяет определить градиент, как вектор, модуль которого равен наибольшей из величин производных по направлению в этой точке. А направление его как раз такое, в котором производная по направлению достигает наибольшей величины. Это определение градиента, в котором не участвуют координаты, позволяет рассматривать его как характеристику функции, не зависящую от наблюдателя. Вместе с тем, выражение градиента через координаты удобно при его вычислении.

Установим ряд важных свойств градиента.

Теорема 10.4. Пусть иимеют все частные производные 1-го порядка. Тогда

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если , то;

5. Если - функция одной переменной, имеющая производную, то.

►Доказательства всех этих свойств аналогичны. Разберем, например, свойство 3. Пусть, для определенности, . Тогда, по правилам дифференцирования,

и .◄

Пусть . Найдём.

Для часто встречающихся в физике радиальных функций согласно свойству 5 получаем: .