§10.2. Дифференциал функции многих переменных и дифференциал отображения

10.2.1. Дифференциал функции многих переменных

Пусть определена в некоторой окрестности точки, и пусть в этой точке существуют,.

Определение. Линейная функция от независимых переменныхвида

(6) называется дифференциалом в точкеи обозначается.

Каждую из независимых переменных ,можно рассматривать как функцию, причем,, а для любогои любогоимеем.

Тогда, последовательно выбирая ,, получаем

. (7)

Подставляя в (6) вместо величинусогласно (7), получаем более часто употребляемую запись дифференциала:

. (8)

Обычно величинам переменных придают значенияприращений независимых переменных, не входящих при добавлениик рассматриваемой точке за границу рассматриваемой области. Независимость переменныхозначает, что если взять какое-то приращение, то оно не меняется при переходе от одной точки области к другой (а для зависимых переменных переход к другой точке вызывает соответствующие изменения вектора).

Поэтому выражение (8) можно заменить на

(9)

для независимых переменных (для них, напомним еще раз,).

Вспомним определение дифференцируемой функции: ее приращение имело вид

, (10)

где при.

Согласно (9), равенство (10) можно переписать в виде

. (11)

Оно означает, что если среди чисел есть отличное от нуля, топредставляет собой главную, притом линейную по, часть приращения.

Определим (пока формально) вектор градиента

.

Тогда дифференциал можно рассматривать, как скалярное произведение в векторов градиента и вектора :

).

Вектор градиента служит обобщением понятия производной функции одной переменной. Напомним, что .

10.2.2 Дифференциал отображения

Для отображения пространства в пространство , состоящего из дифференцируемых функций, также можно определить дифференциал . При этом

.

Матрица ,определённая равенством

,

называется матрицей Якоби отображения .

§10.3. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Свойства матрицы Якоби

10.3.1. Производная сложной функции

Допустим, что дифференцируемая в точкефункция,и, причем– дифференцируемые в точкефункции. Положим. Тогда , где при.

В определении дифференцируемости можно доопределить функции в точке, положив. Тогдапри(причём, может быть, и принимает значения ). Но тогда(так каку нас доопределены в точкенулем) и, таким образом,

(12)

Рассмотрим теперь случай, когда . Применяя полученное выше правило, получим, в очевидных обозначениях (13)

Равенства (12) и (13) дают правила вычисления производных сложных функций.

10.3.2. Инвариантность формы первого дифференциала

Следствием правил вычисления производных сложных функций

является инвариантность формы первого дифференциала. Именно, пусть . Тогда.

Инвариантность формы первого дифференциала означает, что как в случае независимых переменных , так и в случае зависимых переменных для вычисления дифференциала применима формула .