
- •Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§10.1. Дифференцируемость функции многих переменных
- •10.1.1.Определение дифференцируемости функции многих переменных. Частные производные
- •10.1.2. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных
- •§10.2. Дифференциал функции многих переменных и дифференциал отображения
- •10.2.1. Дифференциал функции многих переменных
- •10.2.2 Дифференциал отображения
- •§10.3. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Свойства матрицы Якоби
- •10.3.1. Производная сложной функции
- •10.3.2. Инвариантность формы первого дифференциала
- •10.3.3. Свойства матрицы Якоби. Якобиан
- •§10.4.Геометрические приложения
- •10.4.1. Касательная плоскость
- •10.4.2. Производная по направлению, градиент
- •§10.5.Производные и дифференциалы высших порядков
- •10.5.1. Производные высших порядков
- •10.5.2. Дифференциалы высших порядков
- •10.5.3.Второй дифференциал функции. Матрица Гессе
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
§10.1. Дифференцируемость функции многих переменных
10.1.1.Определение дифференцируемости функции многих переменных. Частные производные
Пусть
определена в некоторой окрестности
точки
,
- точка из этой окрестности.
Определение.
Величина
называетсяприращением
функции
в точке,
соответствующим приращению аргумента
.
Определение.
Функция
называетсядифференцируемой
в точке
,
если существуют такие постоянные числа
и функции
при
(1)
Часто обозначают
и
.
Тогда (1) перепишем в виде
.
При
наше определение (1) совпадает с известным
определением дифференцируемости
(пункт 6.1.1). Для функций одной переменной
дифференцируемость равносильна
существованию производной( теоремы 6.2
и 6.3). В случае нескольких переменных
ситуация несколько сложнее.
Сначала введем в
рассмотрение величину
.
Она представляет собой приращение
функции при фиксированных значениях
всех производных, кромеi-той.
Пусть
дифференцируема в точке
.
Тогда для любого
равенство (1) дает
при
(2)
Поскольку
при фиксированных значениях
равносильно тому, что
,
равенство (2) означает, что функция
одной переменной
дифференцируема в точке
и, значит, существует предел
(3)
называемый, по определению,
частной
производной функции
по переменной
в точке
.
Мы только что, тем самым, доказали теорему:
Теорема 10.1.
Если
дифференцируема в точке
,
то для всех
существуют
.
Таким образом, существование частных производных – необходимое условие дифференцируемости. При этом
при
.
Другое необходимое условие дифференцируемости – непрерывность функции, как показывает следующая теорема.
Теорема 10.2.
Если
дифференцируема в точке
,
то
.
►Достаточно
доказать, что при
,
,
(т.к.
).
Но это сразу следует из равенства (1),
так как
.
◄
Однако, в отличие
от случая
,
из существования частных производных
,определенных
равенством (3) не следует даже непрерывность
функции
в точке
и тем более не следует дифференцируемость
в точке
,
согласно теореме10.2.
Пример.
Тогда
,
так как
.
Аналогично,
.
Однако
даже не непрерывна в точке
.
10.1.2. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных
Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.
Теорема 10.3.
Пусть частные
производные
существуют в окрестности точки
и непрерывны в этой точке. Тогда
дифференцируема в точке
.
► Рассмотрим
сначала простой случай
.
Пусть точки
и
принадлежат рассматриваемой окрестности
точки
.
Рассмотрим приращение функции в точке
:
и представим его в виде:
.
Зафиксировав
,
рассмотрим функцию от переменной
вида
.
Поскольку в
существуют частные производные, функция
дифференцируема на любом промежутке,
содержащем
и
.
Применим поэтому теорему Лагранжа,
согласно которой
,
где
.
По определению частной производной,
.
Поэтому
.
Аналогичным образом,
.
Следовательно,
.
Далее, при
→
точки
и
стремятся к точке
.
Непрерывность частных производных в этой точке означает, что их можно представить в виде
,
,
где
при
→
.
Поэтому получаем представление для приращения функции:
,
означающее
дифференцируемость функции
.Случай
рассмотрен.
В общем случае
пусть
принадлежит рассматриваемой окрестности
.
При этом все точки
так же принадлежат рассматриваемой
окрестности. Приращение функции
представим в виде
(4)
и рассмотрим разности
, (5)
составляющие в сумме приращение (4).
Положим
(то
есть фиксируем все переменные, кроме
).
Тогда рассматриваемая разность (5) имеет
вид
.
Функция
по условию дифференцируема на отрезке,
соединяющем
и
.
Значит, она непрерывна на этом отрезке
и можно применить теорему Лагранжа,
согласно которой
,
где
.
Но
.
По условию непрерывности частных
производных
,
где
при
.
Поэтому каждая из
разностей (5) имеет вид
,
а приращение (4) совпадает с (3) из
определения дифференцируемости. ◄
Замечание.
Непрерывность частных производных не
является необходимым условием
дифференцируемости функций. Например
можно доказать, что функция
дифференцируема в точке
,
но частные производные в этой точке не
непрерывны.
Замечание.
Тем не менее, для функции
частные производные в точке
равны
0, так как
и
(в остальных точках
,
и ясно, что эти производные терпят разрыв
в точке
.
Но функция не дифференцируема в точке
(0,0) , так как её приращение
не имеет вида
,
где
при
.
Действительно, полагая
и предполагая, что
,
получаем
,
или
что невозможно, так как при
правая часть стремится к 0, а левая нет!