§14.2. Интегрирование рациональных функций

14.2.1.Алгебраическое введение

Рассмотрим некоторые нужные нам в дальнейшем сведения алгебраического характера. Всякая рациональная функция может быть представлена в виде дроби , где многочлены с действительными коэффициентами; т.е.

Не нарушая общности, можно считать, что .

Такую дробь называют обычно рациональной дробью. Если, то рациональная дробь называется правильной; в противном случае -неправильной. Если рациональная дробьявляется неправильной, то делением числителя на знаменатель она может быть представлена в виде суммы(1)

в которой многочлен степени , многочлен, степень которого меньше . Таким образом, неправильная рациональная дробь может всегда быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример :

.

В курсе алгебры доказывается, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа дробей следующих четырех типов:

I.

II.

III.

IV.

где и , т.е. трехчлен не раскладывается на линейные множители.

Для нахождения вышеупомянутого разложения рациональной функции обычно используют метод неопределённых коэффициентов. Для его применения следует найти разложение на множители многочлена:

.

Затем записываем искомое разложение рациональной функции с неопределёнными коэффициентами, в котором участвуют вышеупомянутые четыре типа дробей, причём множителю вида соответствуют дроби первых двух типов, при .Множителю вида соответствуют дроби третьего и четвёртого типов, при .Далее приводим все дроби к общему знаменателю, которым является . Сравнивая числители правой и левой части, получаем равенство двух многочленов, тождественное по.Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , приходим к системе уравнений, из которой и находим значения неопределённых коэффициентов.

14.2.2. Неопределенный интеграл от рациональной функции

Теорема. Неопределённый интеграл от рациональной всегда выражается в конечном виде через рациональные, логарифмические и обратные тригонометрические функции.

► Как отмечено выше, всякую рациональную функцию можно представить в виде суммы многочлена некоторой степени, и простых дробей типов I-IV.

Нахождение интеграла от рациональной функции, таким образом, сводится к нахождению интегралов от многочлена и от простых дробей.

Интеграл от многочлена степени есть многочлен степени. Действительно,

Интегралы простых дробей I и II типов выражаются через логарифмические и рациональные функции. Действительно,

,

, 2, 3, 4,…

Интегралы простых дробей III и IV типов выражаются через рациональные, логарифмические и обратные тригонометрические функции. Сначала рассмотрим интеграл:

.

Пусть тогдаи. Обозначим (т. к. ). Получаем

Возвращаясь к переменной и подставляя вместоего значение, получаем

Осталось указать способ вычисления интеграла

.

Сделав ту же подстановку , что и в предыдущем случае, получаем

.

Первый из этих интегралов находим подстановкой т. е.,

Второй интеграл находим с помощью рекуррентной формулы

откуда

.

Последовательно применяя эту формулу, приходим к выражению интеграла через рациональную функцию и интеграл.

В полученном таким образом результате заменяем через .

Из результатов вычислений вытекает справедливость теоремы.◄