Кольца и модули / кольца
.pdfмногочлена r f(x) J (J – идеал). Т.о., r a J1.
2) Из предложения 20 тогда следует, J1 – конечно порожденный идеал, т.е. J1 = (a1,…,ak) для некоторых a1,…,ak J1. Если среди элементов a1,…,ak есть нулевые, то их можно отбросить. Т.о.,
для каждого i=1,…,k найдется многочлен fi(x) J степени ni такой, что ai является его старшим
коэффициентом. Пусть n maxni . Обозначим через Ji множество коэффициентов при xn–i
i 1,...k
многочленов из идеала J, степень которых не превосходит n–i, или нулевого многочлена (i=0,…,n).
Докажем, что i=0,…,n Ji – идеал кольца R. Действительно, пусть a,b Ji. Если a–b = 0, то a– b Ji. Пусть a–b 0. Тогда a и b являются коэффициентами при xn–i многочленов f(x) и g(x) из J
степеней не выше n–i или равных нулю. Поэтому a–b является коэффициентом при xn–i
многочлена f(x)–g(x) J, степень которого также не выше n–i или равного нулю. Итак, в любом
случае a–b Ji.
Пусть a Ji, r R. Если r a = 0, то r a Ji. Пусть r a 0. Тогда поскольку a является
коэффициентом при xn–i некоторого многочлена f(x) из J степени не выше n–i, то r a является коэффициентом при xn–i многочлена r f(x) J, степень которого также не выше n–i. Т.о., r a Ji.
|
|
3) Из предложения 22 тогда следует, что каждый идеал J i (i=0,…,n) конечно порожден, т.е. |
|||||||||||||||||||||||
Ji (ai,...,ai |
) |
для |
некоторых ai |
,...,ai |
Ji . Тогда |
найдутся |
многочлены |
f i (x),..., f i (x) J |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
ki |
|
|
|
|
1 |
|
|
ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ki |
степеней |
не |
выше |
n–i, причем |
aij |
|
– |
коэффициент |
при xn–i |
многочлена |
f ji (x) |
(j = 1,…, ki, |
||||||||||||||
i = 0,…, n). Можно при этом считать, что все |
fji (x) 0. Тогда aij |
0 и aij |
– старший коэффициент |
||||||||||||||||||||||
многочлена |
|
f ji (x) (j = 1,…, ki, i = 0,…, n). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Докажем, |
что J ( f |
1 |
(x),..., f |
k |
(x), |
f |
0(x),..., f 0 (x),...., f n |
(x),..., f n (x)). |
Очевидно, что |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k0 |
1 |
kn |
|
|
|
|
||
( f |
1 |
(x),..., f |
k |
(x), f 0(x),..., f 0 (x),...., f n (x),..., f |
n (x)) J . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
k0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
kn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пусть f(x) J. Если f(x) = 0, то f(x) ( f |
1 |
(x),..., f |
k |
(x), f 0(x),..., f 0 (x),...., f n (x),..., f |
|
n (x)). Пусть |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k0 |
1 |
|
kn |
|||
k
f(x) 0, degf(x) = m и a – старший коэффициент f(x). Тогда a J1 и потому a riai , ri R, i=1,…,k.
|
|
i 1 |
k |
|
(x) лежит в идеале J и его степень меньше m, |
Если m>n, то многочлен f (x) r xm ni f |
i |
|
i |
|
|
i 1 |
|
|
k
поскольку коэффициент при xm равен a riai 0. Повторяя эту процедуру несколько раз, мы
i 1
получим, что f(x) = g(x)+h(x), где g(x) J, h(x) ( f1(x),..., fk (x)) и deg g(x) n
|
k0 |
|
Пусть b – коэффициент при xn многочлена g(x). Тогда b J0 и потому |
b rj0a0j , |
rj0 R, |
|
j 1 |
|
21
k0 |
g1(x) J и его коэффициент при xn равен |
j=1,…,k0. Пусть g1(x) g(x) rj0 fj0(x) . Тогда |
|
j 1 |
|
k0
b rj0a0j 0, т.е. степень g1(x) не выше n–1. Пусть b1 – коэффициент при xn–1 многочлена g1(x).
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
Тогда b1 J1 |
и потому b1 rj1a1j , |
rj1 R, j=1,…,k1. Пусть g2(x) g1(x) rj1 fj1(x) . Тогда g2(x) J и |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
его коэффициент при xn–1 равен b1 rj1a1j |
|
0, т.е. степень g2(x) не выше n–2. И т.д. Мы получим |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kn |
|
|
многочлен |
|
gn(x) J |
степени |
не |
выше |
|
|
0, т.е. |
|
gn(x) J n |
и |
потому |
gn (x) rjnanj . |
Т.о., |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
k0 |
0 f 0(x) |
k1 |
|
|
|
|
kn |
|
f |
n (x) ( f |
|
(x),..., f |
|
(x), f |
0 (x),..., f |
0 (x),...., f |
n (x),..., f |
n (x)) |
|||
g(x) r |
r1 f |
1(x) ... rn |
1 |
k |
|||||||||||||||||
j 1 |
j |
j |
j |
j |
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
1 |
k0 |
1 |
kn |
||
|
|
j 1 |
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и потому f(x) = g(x)+h(x) ( f |
1 |
(x),..., f |
k |
(x), f |
0(x),..., f |
0 (x),...., f |
n (x),..., f n (x)). |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k0 |
|
|
1 |
kn |
|
|
|
|||
Поэтому идеал J конечно порожден и по предложению 22 кольцо R[x] нетерово. Теорема доказана.
Следствие 6. Еcли R – коммутативное нетерово кольцо, то и кольцо многочленов R[x1,…,xn]
нетерово.
Доказательство: при n = 1 утверждение следует из теоремы 8. Если n>1 и кольцо
R[x1,…,xn–1] нетерово, то по теореме 8 кольцо R[x1,…,xn] = (R[x1,…,xn–1])[xn] также нетерово.
Следствие доказано.
Теорема 9. Если R – коммутативное нётерово кольцо, то кольцо формальных степенных рядов R[[x]] также нётерово.
Доказательство: см. Ленг, гл. VI, §3.
22