Кольца и модули / алгебры

II. Алгебры.

1. Основные определения.

Кольцо (R,+, ) называется линейной алгеброй над полем P, если на R задана операция умножения элементов кольца R на элементы поля P и выполняются следующие условия:

1)относительно этой операции и операции + R является линейным пространством;

2)выполняется условие согласованности: P a,b R (a b) = ( a) b = a ( b).

Линейная алгебра A над полем P называется конечномерной, если A – конечномерное линейное пространство над P. Размерностью конечномерной линейной алгебры A над полем P

называется размерность линейного пространства A над P и обозначается dimP(A). Линейная алгебра A над полем P называется коммутативной, если A – коммутативное кольцо. Линейная алгебра A над полем P называется неассоциативной, если A – неассоциативное кольцо. Линейная алгебра A над полем P называется алгеброй с 1, если A – кольцо с 1.

Непустое подмножество B линейной алгебры A над полем P называется подалгеброй алгебры

A, если B является подкольцом кольца A и подпространством пространства A, т.е. 1. a,b B a–b, a b B. 2. P a B a B.

Подалгебра B линейной алгебры A над полем P называется левым (правым) идеалом алгебры

A, если B – левый (правый) идеал кольца A, т.е. непустое множество B A – левый (правый) идеал в

A 1. a,b B a–b B. 2. a A b B a b B (b a B). 3. P a B a B.

Пусть A1 и A2 – линейные алгебры над полем P. Отображение : A1 A2 называется гомоморфизмом алгебр, если является гомоморфизмом кольца A1 в кольцо A2 и линейным отображением линейного пространства A1 в линейное пространство A2, т.е.

1. a,b A1 (a+b) = a +b , (a b) = a b . 2. P a A1 ( a) = (a ).

Мономорфизм, эпиморфизм и изоморфизм линейных алгебр определяются также, как и для колец. Аналогично вводится и понятие изоморфных линейных алгебр.

Примеры линейных алгебр.

1)кольцо Mn(P) (P – поле) – линейная алгебра с 1 над полем P, dimP(Mn(P)) = n2.

2)кольцо P[x] (P – поле) – бесконечномерная коммутативная линейная алгебра c 1 над P.

3)кольцо L(V) линейных операторов линейного пространства V над полем P – линейная алгебра с 1 над P, если V – конечномерное линейное пространство над полем P, то

dimP(L(V)) = (dim(V))2.

4) пусть (G, ) – конечная группа, P – поле. Рассмотрим множество P[G] { g g : g P}.

g G

1

P, то g g ( g )g .Тогда P[G] относительно введенных операций является линейной

g G g G

алгеброй c 1 над полем P и элементы вида 1g 0h, g G, образуют подгруппу группы (P[G]) ,

h g

образуют базис алгебры P[G] и dimP(P[G]) = |G|. Построенная линейная алгебра P[G] называется групповой алгеброй группы G.

5) если E – расширение поля P, то E – коммутативная линейная алгебра с 1 над полем P

(операция умножения на элементы поля P совпадает с умножением в поле E). В частности, и

– линейные алгебры над полем , причем dim ( ) = 1, dim ( ) = 2.

Предложение 1. Если R – кольцо с 1 и в Z(R) лежит подкольцо P, являющееся полем и

содержащее 1, то R – линейная алгебра над полем P.

Доказательство: пусть умножение на элементы поля P – умножение в кольце R. Тогда выполняются все аксиомы из определения линейного пространства, причем P, т.е. Z(R),

a,b R (a b) = ( a) b = (a ) b = a ( b). Т.о., R – линейная алгебра над P. Предложение доказано.

Следствие 1. Всякое тело является линейной алгеброй над своим центром.

Доказательство: из доказательства теоремы Ведденберна мы знаем, что если R – тело, то

Z(R) – поле, причем 1 Z(R), поэтому из предложения 1 тело R – линейная алгебра над полем Z(R).

Следствие доказано.

Центром алгебры A называется центр кольца A – Z(A).

Предложение 2. Если A – линейная алгебра с 1 над полем P, то в Z(A) лежит подалгебра,

= 1 = 0, то = 0 и потому – мономорфизм колец. Для любого 1 P1 1 = , P, т.е. –

сюръективное отображение, т.е. является изоморфизмом алгебр. Предложение доказано.

Следствие 2. Если A – конечномерная линейная алгебра с 1 над полем P и dimP(A) = 1, то алгебра A изоморфна алгебре P (как алгебры над полем P).

2

Умножение для произвольных элементов пространства A вводится по дистрибутивности с использованием введенных правил для базисных векторов. Тогда A становится неассоциативной линейной алгеброй с 1 над полем ((i j) e = ke i (j e) = –(ke)), причем, отождествляя кватернион a с выражением a+0e, мы получаем, что алгебра кватернионов является подалгеброй алгебры A –

упражнение 6. Построенная линейная алгебра называется алгеброй Кэли (она также единственна с точностью до изоморфизма алгебр).

2. Алгебры с делением.

Линейная алгебра A называется алгеброй с делением, если кольцо A является телом.

Пример: любое поле является линейной алгеброй с делением над любым своим подполем.

Говорят, что линейная алгебра не содержит делителей нуля, если их не содержит кольцо A.

Предложение 3. Линейная алгебра с делением не содержит делителей нуля.

Доказательство – упражнение 7.

Предложение 4. Конечномерная алгебра с 1 без делителей нуля является алгеброй с делением.

Доказательство: пусть A – конечномерная алгебра с 1 без делителей нуля над полем P, a A\{0}, b A. Рассмотрим отображение a: A A, определенное по правилу x a = a x, x A. Тогда

x,y A (x+y) a = a (x+y) = a x+a y = x a+y a; P x A ( x) a = a ( x) = (a x) = (x a). Т.о., a

– линейный оператор пространства A. При этом если x a = a x = 0, x A, то поскольку A – без делителей нуля, x = 0, т.е. Ker( a) = {0} и потому из теоремы о ранге и дефекте Im( a) = A, т.е. a –

биективное отображение, т.е. изоморфизм. Тогда для b A найдется x A такой, что b = x a = a x,

т.е. уравнение a x = b разрешимо в A. Аналогично доказывается разрешимость в A и уравнения y a = b. Т.о., A – тело. Предложение доказано.

Для бесконечномерных линейных алгебр это уже может быть не так. Например, линейная алгебра P[x] (P – поле) является алгеброй с 1 без делителей нуля, но при этом не является телом,

т.е. алгеброй с делением.

4

доказывается, что a b a b.

a b= (a0b0–a1b1–a2b2–a3b3)1–(a0b1+a1b0+a2b3–a3b2)i–(a0b2+a2b0+a3b1–a1b3)j–(a0b3+a3b0+a1b2–

–a2b1)k, b a= (b01–b1i–b2j–b3k) (a01–a1i–a2j–a3k) = (b0a0–b1a1–b2a2–b3a3)1+(–b0a1–b1a0+b2a3–b3a2)i+

Лемма 2. a, b 1. n(a) 0. 2. n(a)=0 a=0. 3. n(a b) = n(a)n(b).

Доказательство леммы 2: пусть a = a0 1+a1 i+a2 j+a3 k, b = b0 1+b1 i+b2 j+b3 k. Тогда

1.n(a) = a02+a12+a22+a32 0.

2.n(a)=0 a02+a12+a22+a32 = 0 a0=a1=a2=a3=0 a=0.

n(a) n(a)

Неассоциативная линейная алгебра A называется алгеброй с делением, если a,b A, a 0,

x,y A a x = b и y a = b.

Предложение 6. Алгебра Кэли является неассоциативной алгеброй с делением.

Доказательство: проводится аналогично доказательству предложения 5, где сопряженным к элементу a+be называется элемент a be a be, а нормой элемента a+be называется число

n(a be) a be (a be) (a be) a be – упражнение 8.

5

Теорема 1 (Фробениус). Любая конечномерная линейная алгебра с делением над полем

изоморфна одной из алгебр , , .

Доказательство: пусть A – конечномерная линейная алгебра с делением над полем ,

dim (A) = n. Будем считать, что A.

Если n=1, то по следствию 2 A = .

Пусть n>1. Тогда a A\ . Поскольку для любого элемента b A система элементов

1, b, b2, …, bn линейно зависима, найдутся 0, 1, 2,…, n , не все равные нулю, такие, что

01+ 1b+ 2b2+…+ nbn = 0, т.е. b является конем ненулевого многочлена f(x) = 0+ 1x+ 2 x2+…+ nxn [x]. Минимальным многочленом элемента b назовем ненулевой

унитарный многочлен p(x) [x] наименьшей степени такой, что p(b) = 0.

Лемма 1. Пусть A – конечномерная линейная алгебра с 1 над полем без делителей нуля.

Минимальный многочлен p(x) любого элемента b алгебры A неприводим над . Если f(x) [x] и f(b) = 0, то p(x)|f(x).

Доказательство леммы 1 аналогично доказательству соответствующего утверждения в теории полей – упражнение 9.

Пусть p(x) [x] – минимальный многочлен элемента a. Поскольку по лемме 1 многочлен

p(x) неприводим над , то degp(x) 2. Если бы degp(x) = 1, то p(x) = x+ 1, 1 , т.е. a = – 1 , что противоречит выборуa. Т.о., degp(x) = 2 и p(x) = x2+ 1x+ 2, причем D = 12–4 2<0 и a2+ 1a+ 2 = 0,

операцию умножения на элементы поля , мы получаем, что A – линейное пространство над

полем . При этом любая система порождающих линейного пространства A над полем является

6

системой порождающих этого пространства над полем , в частности, поскольку пространство A

над полем конечномерно, то в пространстве A над полем есть конечная система порождающих и потому оно также конечномерно.

Лемма 2. Если B – конечномерная линейная алгебра с 1 над полем без делителей нуля, то dim (B) = 1.

Доказательство леммы 2: пусть b B. Поскольку B можно рассматривать как линейное пространство над полем , линейное пространство B над полем конечномерно и линейное

пространство над полем конечномерно, то B – конечномерная линейная алгебра с 1 над полем

без делителей нуля. Тогда у элемента b есть минимальный многочлен p(x) [x], который над

полем раскладывается на линейные множители: p(x) = (x– 1) … (x– k), i , i = 1,…,k. Тогда

пространство B над полем , причем является его базисом, т.е. dim (B) = 1. Лемма 2 доказана.

Пусть B = {x A: x i = i x}. Тогда 0, 1, a B.

Лемма 3. Множество B, состоящее из элементов алгебры A, коммутирующих с элементом i,

(x y) i = x (y i) = x (i y) = (x i) y = (i x) y = i (x y), т.е. x–y, x y B. Т.о., B – подкольцо кольца A. Пусть

x B, + i . Тогда (( + i)x) i = (( + i) x) i = ( + i) (x i) = ( + i) (i x) = (( + i) i) x =

(i ( + i)) x = i (( + i)x), т.е. ( + i)x B. Т.о., B – подпространство линейного пространства A над полем . Если x, y B, + i , то ( + i)(x y) = (( + i)x) y = ( x+( i)x) y = (( (x 1)+ (i x)) y = ((x ( 1)+ (x i)) y = ((x ( 1)+ x ( i)) y = (x ( + i)) y = x (( + i)y). Т.о., B – линейная алгебра над полем . При этом пространство A над полем конечномерно и потому алгебра B также

конечномерна. Т.о., B – конечномерная линейная алгебра с 1 над полем без делителей нуля.

Тогда по лемме 2 dim (B) = 1, т.е. B = . Лемма доказана.

Если теперь для любого b A b i = i b, то по лемме 3 A = B = .

Пусть A . Рассмотрим отображение : A A, определенное по правилу x = x i, x A. Тогда

– линейный оператор пространства A над полем – упражнение 11. При этом x( 2+ A) =

7

= x (i2+1) = x 0 = 0, т.е. 2+ A = 0. Пусть F – матрица оператора в некотором базисе пространства

x – собственный вектор, относящийся к собственному значению i только в том случае, если

x i = x = i x, т.е. x . Т.о., = Si( ). Пусть теперь x Ker( –i A)2. Тогда x( –i A)2 = 0, т.е. (x i–i x) i– i (x i–i x) = 0, т.е. –x–i x i = 0, откуда x i = i x, т.е. x Si( ). Поэтому Ker( –i A)2= Si( ) и Si( ) = Qi( ).

Поскольку мы предположили, что A , то найдется собственный вектор j0 A, относящийся

к собственному значению –i, т.е. j0 A\ и j0 i = (–i) j0. Тогда j02 i = j0 (j0 i) = j0 ((–i) j0) = (j0 (–i)) j0 =

–((–i) x) j–1 = i (x j–1), т.е. x j–1 и потому x j = {c j: c }, т.е. j = S–i( ). Как и выше, S–i( ) =

Q–i( ) и потому A = Qi( ) Q–i( ) = j (как линейное пространство над полем ).

Если теперь x A, то x = c+d j, c, d , т.е. x = + i+( + i) j = 1+ i+ j + (i j) для некоторых

, , , . При этом если 1+ i+ j+ (i j) = 0, то + i+( + i) j = 0, откуда, поскольку j –

прямая сумма подпространств, + i = ( + i) j = 0, т.е. + i = + i = 0 и = = = =0. Т.о., {1, i, j, i j}

– базис алгебры A над полем . При этом изоморфизм линейных пространств : A такой, что

1 = 1, i = i, j = j, (i j) = k является изоморфизмом алгебры A на алгебру кватернионов – упражнение 12. Теорема доказана.

Теорема 2 (обобщенная теорема Фробениуса). Любая конечномерная альтернативная линейная алгебра с делением над полем изоморфна одной из алгебр , , или алгебре Кэли.

(Неассоциативная линейная алгебра A называется альтернативной, если любое ее подкольцо,

порожденное двумя элементами, является ассоциативным кольцом).

3. Идеалы в линейных алгебрах.

В любой линейной алгебре A можно выделить два идеала: {0} – нулевой идеал и A –

единичный идеал.

Предложение 7. Пусть A – линейная алгебра с 1 над полем P, J – левый (правый) идеал кольца A. Тогда J является подпространством линейного пространства A, и, в частности, левым

(соответственно, правым) идеалом алгебры A.

8

Доказательство: пусть J – левый идеал кольца A, P, a J. Тогда a = (1 a) = ( 1) a J,

поскольку 1 A и J – левый идеал. По определению левого идеала кольца J также замкнуто относительно операции сложения в A. Т.о., J – подпространство линейного пространства A. Для

«правого» случая доказательство аналогично. Предложение доказано.

Т.о., в линейных алгебрах с 1 множество левых (правых) идеалов совпадает с множеством левых (правых идеалов) соответствующих колец.

Примеры: 1. В линейной алгебре Mn(P) множества Ji являются правыми идеалами, а

множества Ji – левыми идеалами (i=1,…,n).

2. В произвольной линейной алгебре A с 1 для любого элемента b A множество bA является правым идеалом, а множество Ab – левым идеалом.

Предложение 8. Пусть A – конечномерная линейная алгебра с 1 над полем P. Тогда A –

артиново и нетерово слева и справа кольцо.

Доказательство: 1. пусть J1 J2 … – убывающая цепочка левых (правых) идеалов кольца A.

Тогда по предложению 7 J1 J2 … – убывающая цепочка подпространств линейного пространства

A. Поскольку A – конечномерное линейное пространство, таковыми являются и его подпространства и dim(J1) dim(J2) … 0, т.е. k N такое, что dim(Jk) = dim(Jk+1) =… Тогда

Jk = Jk+1 =…, т.е. A – артиново слева и справа кольцо.

Доказательство второго утверждения – упражнение 13.

9