Кольца и модули / кольца

КОЛЬЦА И МОДУЛИ

Литература.

1.Кострикин А. И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

2.Ван дер Варден Б. А. Алгебра. – М.: Наука, 1979.

3.Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. – М., 1962.

4.Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. – М.: Наука, 1990.

5.Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.

6.Скорняков Л. А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1980.

7.Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983.

I. Кольца.

1. Основные определения.

n-арной операцией на множестве M называется отображение множества Mn в множество M.

Примеры: 1) M – числовое множество, +, – бинарные операции на M (n = 2). 2) G – группа, x x–1 – унарная операция на G (n = 1).

Алгебраической структурой на множестве M назовем множество , каждый элемент которой

– n-арная операция на M (n N). Множество M называется алгебраической системой, если на M

задана некоторая алгебраическая структура : (M, ).

Примеры:

1)Если (G, ) – группа, то G – алгебраическая система со структурой = { }.

2)Кольцо (R,+, ) – алгебраическая система.

Алгебраическая система (R,+, ) с бинарными операциями сложения + и умножения называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1)операция + коммутативна, т.е. a,b R a+b = b+a;

2)операция + ассоциативна, т.е. a,b,c R (a+b)+c = a+(b+c);

3)в R существует нейтральный элемент по отношению к + (ноль), т.е. 0 R a R a+0=a;

4)в R любой элемент обратим по отношению к +, т.е. a R b R a+b=0;

5)операция ассоциативна, т.е. a,b,c R (a b) c = a (b c);

6)выполняются дистрибутивные законы, т.е. a,b,c R (a+b) c = a c+b c и c (a+b) = c a+c b.

Переходя на язык групп, алгебраическая система (R,+, ) с бинарными операциями сложения

+ и умножения называется кольцом, если

1)(R,+) – абелева группа;

2)(R, ) – полугруппа;

1

3) a,b,c R (a+b) c = a c+b c c (a+b) = c a+c b.

Из определения кольца мы легко получаем

Предложение 1. Пусть (R,+, ) – кольцо. Тогда

1)a,b R !x R a+x=b (уравнение a+x=b разрешимо в R и это решение единственно);

2)a R a 0 = 0 a = 0;

3)a,b R a (–b) = (–a) b = –(a b), (–a) (–b) = a b ;

4)Для любых a,b R обозначим a–b = a+(–b). Тогда a,b,c R (a–b) c = a c–b c и c (a–b) = c a–c b.

5)a1,…,an,b R (a1+…+an) b = a1 b+…+an b, b (a1+…+an) = b a1+…+b an.

6)a1,…,an R –(a1+…+an) = (–a1)+…+(–an).

Доказательство – упражнение 1.

Как и в группе, в кольце определяется целая степень элемента. Пусть a R:

если n N, то na = a a; 0a = 0; (–n)a = –(na).

n

Упражнение 2. Докажите, что a,b R m,n Z

1) n(a+b)=na+nb; 2) n(a–b)=na–nb; 3) n(a b) = a (nb) = (na) b; 4) (n+m)a = na+ma; 5) (n–m)a = na–ma; 6) (nm)a = n(ma) = m(na).

Кольцо R называется коммутативным, если операция умножения на нем коммутативна, т.е.

a,b R a b = b a. Можно также рассматривать и неассоциативные кольца – алгебраические системы (R,+, ), которые удовлетворяют всем условиям из определения кольца за исключением 5.

Нейтральный по отношению к умножению элемент кольца называется единицей кольца – 1.

Т.о., если 1 R, то a R a 1 = 1 a = a. Ненулевое кольцо, содержащее единицу, называется кольцом с единицей.

Упражнение 3. Если R – кольцо с 1, то 1 0.

Примеры колец.

1)Числовые множества Z, Q, R, C по отношению к операциям сложения и умножения чисел являются коммутативными кольцами с 1.

2)Множество классов целых чисел Zn, сравнимых по модулю n (n N), относительно операций сложения и умножения классов является коммутативным кольцом с 1, состоящим из n

элементов.

3) Любая коммутативная группа может быть превращена в кольцо. Пусть (G,+) – абелева группа. Добавим операцию умножения: a,b G a b = 0. Тогда (G,+, ) – коммутативное кольцо,

называемое кольцом с нулевым умножением.

4) Множество векторов пространства, имеющих общее начало, V3 относительно операций сложения векторов и векторного произведения является неассоциативным кольцом.

Из имеющихся примеров колец можно строить новые, применяя ряд операций:

2

1)Если R – произвольное кольцо, то множество Mn(R) квадратных матриц порядка n с

элементами из кольца R по отношению к операциям сложения и умножения матриц является кольцом.

2)Если R – произвольное кольцо, то множество R[x] многочленов от одной переменной над кольцом R по отношению к операциям сложения и умножения многочленов является кольцом.

Аналогично, множество R[x1, x2,…, xn] многочленов от n переменных над кольцом R по отношению к операциям сложения и умножения многочленов является кольцом.

3) Если R – произвольное кольцо, M – некоторое множество, то множество RM отображений множества M в кольцо R по отношению к операциям поточечного сложения и умножения отображений является кольцом.

4) Пусть R – произвольное кольцо. Рассмотрим множество R[[x]] выражений вида k xk ,

k 0

где k R, k = 0,1,…, называемых формальными степенными рядами. Введем операции на этом

k = 0,1,… Тогда по отношению к введенным операциям множество R[[x]] является кольцом – кольцом формальных степенных рядов над R.

5) Пусть R – произвольное кольцо. Рассмотрим множество R1={( ,a): Z, a R} пар,

состоящих из целого числа и элемента кольца R. Введем на множестве R1 следующие операции:

если ( ,a), ( ,b) R1, то ( ,a)+( ,b) = ( + ,a+b), ( ,a) ( ,b) = ( , b+ a+a b). Тогда множество R1

относительно введенных операций является кольцом с 1, а операция построения кольца R1 –

внешним присоединением единицы.

6) Если R1, …, Rn – кольца, то множество R1 … Rn = {(a1,…,an): ai Ri, i = 1,…,n}

относительно операций покомпонентного сложения и умножения последовательностей является кольцом, которое называется прямой суммой колец R1, …, Rn.

Упражнение 4. Доказать, что все перечисленные алгебраические системы являются кольцами.

2. Обратимые элементы кольца. Делители нуля.

Пусть R – кольцо с 1. Элемент кольца R, обратимый по отношению к операции умножения,

называется обратимым элементом кольца R. Т.о., элемент a R обратим b R a b = b a = 1.

Элемент b тогда называется обратным к элементу a и обозначается a–1.

Упражнение 5. Докажите, что множество R обратимых элементов кольца R с 1 образует

3

группу по отношению к операции умножения кольца R.

Кольцо R с 1 0 называется телом, если любой ненулевой элемент кольца R обратим, т.е.

R = R\{0}. Коммутативное тело называется полем.

Упражнение 6. Докажите что ненулевое кольцо R является телом a,b R, a 0, x,y R a x = b и y a = b.

Примеры:

1)Z = { 1}, поэтому Z не является полем. Кольца Q, R, C – поля.

2)Zn = {m Zn: (m, n) = 1}. Кольцо Zn – поле n – простое число.

3)Если P – поле, то (P[x]) = P\{0}. Т.о., кольцо P[x] не является полем.

Коммутативное кольцо с 1, не содержащее делителей нуля, называется целостным (областью целостности).

Упражнение 7. Пусть R – ненулевое кольцо. Докажите, что в R нет делителей нуля

a,b,c R, a 0, a b = a c b = c и b a = c a b = c.

Предложение 2. В теле нет делителей нуля.

Доказательство – упражнение 8.

Следствие 1. Поле является целостным кольцом.

Обратное утверждение можно сформулировать для конечного случая.

Предложение 3. Конечное кольцо без делителей нуля является телом.

Доказательство: пусть R – конечное кольцо без делителей нуля и a,b R, a 0. Рассмотрим отображение кольца R в себя, которое произвольный элемент x R переводит в элемент a x R.

Докажем его инъективность: если для некоторых x,y R a x = a y, то, поскольку a 0, а в R нет

4

делителей нуля, x = y. Множество R конечно и потому инъективное отображение множества R в

себя является сюръективным, т.е. биективным. Т.о., рассматриваемое отображение биективно и потому для элемента b R найдется прообраз относительно данного отображения, т.е. x R a x = b.

Аналогично рассматривается отображение x R x a R и доказывается разрешимость в R

уравнения y a = b. Из сформулированного выше упражнения получаем, что R – тело.

Предложение доказано.

Следствие 2. Конечное целостное кольцо является полем.

Но если кольцо R не конечно, то последнее утверждение уже может оказаться несправедливым, т.к. Z – целостное кольцо, не являющееся полем.

3. Подкольцо. Идеал.

Непустое подмножество S кольца R называется подкольцом в R, если (S,+) – подгруппа группы (R,+) и (S, ) – подполугруппа полугруппы (R, ), т.е. a,b S a–b, a b S.

Непустое подмножество J кольца R называется левым (правым) [двусторонним] идеалом в R,

если (J,+) – подгруппа группы (R,+) и a J r R r a J (a r J) [r a, a r J]. Т.о., J – левый

(правый) [двусторонний] идеал в R, если: 1. a,b J a–b J. 2. a J r R r a J (a r J) [r a, a r J].

Очевидно, что любой идеал кольца является его подкольцом. Обратное утверждение неверно. Например, если R – кольцо с 1, то в кольце Mn(R) подмножество диагональных матриц

Dn(R) является подкольцом, но не является ни левым, ни правым идеалом, поскольку E Dn(R) и

для любой матрицы A Mn(R) E A = A E = A, т.е. если A не является диагональной, то E A, A E Dn(R).

Упражнение 9. 1. В кольце Q укажите подкольцо, не являющееся идеалом в Q.

2. Пусть R – кольцо с 1. Докажите, что левый (правый) идеал J кольца R совпадает с R 1 J.

Примеры:

1.В произвольном кольце R подмножества {0} (нулевой) и R (единичный) – двусторонние идеалы – упражнение 10. Нулевой и единичный идеалы кольца называют тривиальными идеалами.

2.Пусть R – кольцо с ненулевым умножением ( a,b R a b≠0). В кольце Mn(R) подмножество

Ji матриц, у которых все элементы, находящиеся вне i-й строки, равны нулю, является правым идеалом, но не является левым идеалом кольца (i=1,…,n). Действительно, при вычитании матриц,

у которых все элементы, находящиеся вне i-й строки, равны нулю, в результате получается матрица с таким же свойством. При умножении матрицы, у которой все элементы, находящиеся вне i-й строки, равны нулю, на произвольную матрицу кольца справа, получается матрица с таким

5

доказывается, что подмножество Ji матриц, у которых все элементы, находящиеся вне i-го столбца, равны нулю, является левым идеалом, но не является правым идеалом кольца (i=1,…,n).

3.В кольце R с нулевым умножением все подгруппы группы (R,+) являются двусторонними идеалами.

4.В кольце Z множество nZ={na: a Z} является двусторонним идеалом и других подколец в кольце Z нет – упражнение 11.

5.В кольце функций [a,b] подмножество C[a,b] непрерывных на отрезке [a,b] функций

является подкольцом, но не является ни левым, ни правым идеалом. Действительно, разность и

произведение непрерывных на [a,b] функций является непрерывной на [a,b] функцией. Т.о., C[a,b]

–подкольцо кольца [a,b].

6.Пусть R – произвольное кольцо, a R. Подмножество Ra = {r a: r R} является левым идеалом, а подмножество aR = {a r: r R} – правым идеалом кольца R – упражнение 12. Идеалы Ra

и aR называются главными идеалами кольца R.

Целостное кольцо, все идеалы которого являются главными, называется кольцом главных

идеалов. Например, Z и P[x] (P – поле) – кольца главных идеалов.

Предложение 4. Кольцо R с 1 является телом т. и т., т., к. любой левый и правый идеал

6

Если r R, то r a = r a1+…+r an J1+…+Jn, поскольку r ai Ji, i=1,…,n. Т.о., J1+…+Jn – левый идеал кольца R. Аналогично рассматривается случай, когда J1, …, Jn – правые идеалы кольца R.

Можно также определить бесконечную сумму идеалов. Если (Ji)i I – левые (правые) идеалы

кольца R, то сумма Ji , состоящая из всевозможных конечных сумм элементов идеалов Ji, i I,

i I

является левым (соответственно, правым) идеалом кольца R.

Действительно, пусть (Ji)i I – левые идеалы кольца R и пусть a, b Ji . Тогда a и b лежат в

i I

некоторой конечной сумме идеалов Ji, i I, а потому a–b также принадлежит этой конечной сумме,

а, значит, и Ji , и для любого r R r a принадлежит этой конечной сумме, а, значит, и Ji .

4. Если J1, …, Jn – левые (правые) идеалы кольца R, то произведение J1 … Jn, состоящее из конечных сумм вида , где aik Jk , k=1,…,n, является левым (соответственно, правым)

идеалом кольца R – упражнение 16.

Пусть a1,…, an R. Левым (правым) идеалом кольца R, порожденным элементами a1,…, an

называется наименьший левый (правый) идеал кольца R, содержащий элементы a1,…, an.

Обозначается этот идеал (a1,…, an)l (соответственно, (a1,…, an)r).

Предложение 5. Пусть a1,…, an – элементы кольца R. Тогда множество элементов кольца R

кольца R, содержащимся в левом (соответственно, правом) идеале R, порожденном элементами a1,…, an. Если R – кольцо с 1, то указанное множество совпадает с идеалом (a1,…, an)l

(соответственно, (a1,…, an)r).

7

Тогда a,b R1 a = b a–b Ker . В частности, – мономорфизм колец Ker = {0}.

Доказательство – упражнение 20.

Если J – двусторонний идеал кольца R, то можно ввести конструкцию, аналогичную

конструкции фактор-группы. В этом случае (J,+) – нормальная подгруппа группы (R,+) и потому можно рассмотреть фактор-группу (R/J,+). Введем на множестве R/J еще одну операцию: если J+a,

Предложение 8. Пусть R – кольцо, J – двусторонний идеал в R. Тогда множество R/J по отношению к операциям + и является кольцом. Если R – коммутативное кольцо (кольцо с 1), то и

кольцо R/J является коммутативным (соответственно, кольцом с 1).

Доказательство – упражнение 21.

Построенное кольцо R/J называют фактор-кольцом кольца R по идеалу J.

Предложение 9. Пусть R – кольцо, J – двусторонний идеал в R. Отображение : R R/J,

определенное по правилу a = J+a, a R, (естественный гомоморфизм кольца R на фактор-кольцо

R/J) является эпиморфизмом колец, причем Ker = J.

Доказательство – упражнение 22.

Т.о., из предложения 9 и следствия 3 мы получаем, что идеалы кольца R и только они

являются ядрами гомоморфизмов кольца R в другие кольца.

Теорема 2 (2-я теорема о гомоморфизмах колец). Пусть : R1 R2 – гомоморфизм колец.

Тогда R1/Ker Im , причем существует такой мономорфизм колец : R/Ker R2, что = , где

– естественный гомоморфизм кольца R на фактор-кольцо R/Ker .

Доказательство – упражнение 23.

Теорема 3 (3-я теорема о гомоморфизмах колец). Пусть R – кольцо, J – двусторонний идеал

в R, (R,J) – множество подколец кольца R, содержащих идеал J. Тогда отображение,

сопоставляющее подкольцу S (R,J) фактор-кольцо S S / J является биекцией множества

(R,J) на множество подколец фактор-кольца R/J. При этом подкольцо S (R,J) является левым

(правым) идеалом кольца R фактор-кольцо S/J является левым (соответственно, правым)

идеалом фактор-кольца R/J. Если S (R,J) – двусторонний идеал кольца R, то R/S (R/J)/(S/J).

Доказательство – упражнение 24.

Теорема 4 (теорема об изоморфизме колец). Пусть R – кольцо, S – подкольцо в R, J –

двусторонний идеал в R. Тогда S+J – подкольцо в R, содержащее J в качестве двустороннего идеала, S J – двусторонний идеал в S и (S+J)/J S/(S J).

Доказательство – упражнение 25.

9