short_metod1-3
.pdf13
5.’¥®à¥¬ë ® ¯à¥¤¥« å
‚í⮬ à §¤¥«¥ ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥-ë ⥮६ë, ª®â®àë¥ ®¡- «¥£ç îâ - 宦¤¥-¨¥ ¯à¥¤¥«®¢ äã-ªæ¨¨. ”®à¬ã«¨à®¢ª
¨¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ ¤«ï á«ãç ¥¢, ª®£¤ x ! x0 ¨
x ! 1, - «®£¨ç-ë. ‚áî¤ã ¢ ¯à¨¢®¤¨¬ëå ⥮६ å ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¯à¥¤¥«ë äã-ªæ¨© f(x) ¨ '(x) ¯à¨ x ! x0 áãé¥áâ¢ãîâ.
’¥®à¥¬ 5.1. •à¥¤¥« á㬬ë (à §-®áâ¨) ¤¢ãå äã-ª- 権 à ¢¥- ᮮ⢥âá⢥--® á㬬¥ (à §-®áâ¨) ¨å ¯à¥¤¥- «®¢:
( |
) |
( |
)) = |
lim ( ) |
lim |
( ) |
: |
||||
xlimx0(f x |
|
§ ' x |
|
x |
! |
x0 f x |
§ x |
! |
x0 |
' x |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì f(x) ! A ¨ Á(x) ! B ¯à¨ x ! x0. ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 4.5 ¬®¦-® § ¯¨á âì, çâ®
f(x) = A + ®(x) ¨ '(x) = B + ¯(x);
£¤¥ ®(x) ¨ ¯(x) | ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ë¥ äã-ªæ¨¨. ‘«¥¤®¢ - ⥫ì-®,
f(x) + '(x) = (A + B) + (®(x) + ¯(x)):
•® ᢮©áâ¢ã ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ëå äã-ªæ¨©, ª®â®à®¥ áä®à- ¬ã«¨à®¢ -® ¢ ⥮६¥ 4.1, äã-ªæ¨ï ®(x) + ¯(x) ï¥âáï
¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®©. ’®£¤ ¨§ ⥮६ë 4.6 á«¥¤ã¥â, çâ®
f(x) + '(x)) = A + B;
xlim!x0(
â. ¥.
f(x) + '(x)) = lim f(x) + lim '(x):
xlim!x0( x!x0 x!x0
14
“⢥ত¥-¨¥ â¥®à¥¬ë ¤«ï áã¬¬ë ¤¢ãå äã-ªæ¨© ¤®ª - § -®. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ã⢥ত¥-¨¥ ¤«ï à §-®á⨠¤¢ãå äã-ªæ¨© ¤®ª §ë¢ ¥âáï - «®£¨ç-®.
‘«¥¤á⢨¥ 1. ”ã-ªæ¨ï ¬®¦¥â ¨¬¥âì -¥ ¡®«¥¥ ®¤- -®£® ¯à¥¤¥« ¯à¨ x ! x0.
„¥©á⢨⥫ì-®, ¥á«¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = A |
|
¨ lim f(x) = B; |
|
|
||||
xlim!x0 |
|
|
x!x0 |
|
|
|
|
|
|
â® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
( )) = |
lim ( ) |
lim ( |
) = |
A ¡ B: |
||||
0 = xlimx0(f x |
¡ f x |
x |
! |
x0 f x |
¡ x |
! |
x0 f x |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||
’¥®à¥¬ 5.2. |
•à¥¤¥« ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ¤¢ãå äã-ªæ¨© à - |
||||||||||||||||
¢¥- ¯à®¨§¢¥¤¥-¨î ¨å ¯à¥¤¥«®¢: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
xlimx0(f |
( |
x |
) |
( |
x |
)) = |
lim |
( ) |
¢ |
lim |
( |
) |
: |
||||
|
|
¢ ' |
|
x |
! |
x0 f |
x |
x |
! |
x0 |
' |
x |
|||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì f(x) ! A ¨ '(x) ! B ¯à¨ x ! x0. ’®£¤ í⨠äã-ªæ¨¨ ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
f(x) = A + ®(x) ¨ '(x) = B + ¯(x), £¤¥ ®(x) ¨ ¯(x) | ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ë¥ äã-ªæ¨¨. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®,
f(x) ¢ '(x) = (A + ®(x))(B + ¯(x)) =
AB + fA¯(x) + B®(x) + ®(x)¯(x)g:
‚¢¨¤г б«¥¤бв¢¨© 1 ¨ 2 ¨§ в¥®а¥¬л 4.2 ¢б¥ б« £ ¥¬л¥ ¢ д¨£га-ле бª®¡ª е п¢«повбп ¡¥бª®-¥з-® ¬ «л¬¨ дг-ª- ж¨п¬¨, ¨ ¯®в®¬г ¯® в¥®а¥¬¥ 4.1 ¡¥бª®-¥з-® ¬ «®© п¢«п- ¥вбп ¨ ¨е б㬬 . ‘«¥¤®¢ в¥«м-®,
f(x) ¢ '(x) = AB;
xlim!x0
15
¨ ⥮६ ¤®ª § - . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® íâ ⥮६ ¢¥à- ¤«ï «î¡®£® ª®-¥ç-®£® ç¨á« ᮬ-®¦¨â¥«¥©.
‘«¥¤á⢨¥ 2. •®áâ®ï--ë© ¬-®¦¨â¥«ì ¬®¦-® ¢ë- -®á¨âì § §- ª ¯à¥¤¥« :
cf(x)) = c lim f(x):
xlim!x0( x!x0
‘«¥¤á⢨¥ 3. •à¥¤¥« á⥯¥-¨ äã-ªæ¨¨ á - âãà «ì- |
||||
-ë¬ ¯®ª § ⥫¥¬ à ¢¥- ⮩ ¦¥ á⥯¥-¨ ¯à¥¤¥« äã-ª- |
||||
樨: |
))n = ( lim |
))n |
; n 2 N: |
|
xlimx0(f(x |
||||
x x0 f(x |
|
|||
! |
! |
|
|
|
„®ª § ⥫ìá⢠íâ¨å á«¥¤á⢨© ¯à¥¤« £ ¥âáï ç¨â â¥«î ¯à®¢¥áâ¨ á ¬®áâ®ï⥫ì-®.
’¥®à¥¬ 5.3. •à¥¤¥« ¤à®¡¨ à ¢¥- ¯à¥¤¥«ã ç¨á«¨â¥«ï, ¤¥«¥--®¬ã - ¯à¥¤¥« §- ¬¥- ⥫ï, ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¯®- á«¥¤-¨© ®â«¨ç¥- ®â -ã«ï.
„®ª § ⥫ìá⢮. Š ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥ ¯à¥¤- ¯®« £ ¥¬, çâ® f(x) = A+®(x) ¨ Á(x) = B +¯(x), £¤¥ ®(x)
¨ ¯(x) | ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ë¥ äã-ªæ¨¨. ’®£¤
'(x) = B + ¯(x) = B + |
µB + ¯(x) |
¡ B ¶ |
= |
||
f(x) A + ®(x) A |
|
A + ®(x) |
|
A |
|
A B®(x) ¡ A¯(x):
B + B2 + B¯(x)
‚â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯®á«¥¤-¥¬ ¢ëà ¦¥-¨¨ ï¥âáï ¡¥á- ª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ªæ¨¥©. •â® á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 4.3,
16
â. ª. íâ® á« £ ¥¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ç áâ-®¥ ®â ¤¥«¥- -¨ï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ªæ¨¨ - äã-ªæ¨î, ¨¬¥îéãî ®â«¨ç-ë© ®â -ã«ï ¯à¥¤¥«. •®í⮬ã
f(x) |
|
A |
; |
â. ¥. |
lim |
f(x) |
limx!x0 |
f(x) |
: |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
xlim!x0 Á(x) |
= B |
Á(x) |
Á(x) |
||||||||
|
x!x0 |
= limx!x0 |
|||||||||
6. •à¨¬¥àë
•à¨¬¥à 1. ‚ëç¨á«¨âì xlim1(3x2 ¡ 2x + 7). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•¥è¥-¨¥. ˆá¯®«ì§ãï ⥮६ã 5.1 ¨ á«¥¤á⢨¥ 2 ¨§ |
||||||||||||
¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ã-ªâ , ¨¬¥¥¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
2) + lim |
) + lim |
|
||||||||
xlim1(3x2 ¡ 2x + 7) = x |
! |
1(3x |
|
x 1(2x |
|
x |
! |
1 7 = |
|
|||
! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
+ 7 = 3 |
¢ |
1 |
¡ |
2 + 7 = 8 |
: |
||||
3 xlim1 x2 + 2 x |
! |
1 x |
|
|
|
|
|
|||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•à¨¬¥à 2. ‚ëç¨á«¨âì xlim!2 |
x2 + 14x ¡ 32 |
|
|
|
|
|
||||||
x2 ¡ 6x + 8 . |
|
|
|
|
||||||||
•¥è¥-¨¥. ‡¤¥áì ¯à¨¬¥-¨âì ⥮६㠮 ¯à¥¤¥«¥ ¤à®¡¨ |
||||||||||||
-¥«ì§ï, â. ª. ¯à¥¤¥« §- ¬¥- â¥«ï ¯à¨ x ! 2 à ¢¥- 0.
Šà®¬¥ ⮣®, ¯à¥¤¥« ç¨á«¨â¥«ï â ª¦¥ à ¢¥- -ã«î. ‚ â - ª¨å á«ãç ïå £®¢®àïâ, çâ® ¨¬¥¥¬ -¥®¯à¥¤¥«¥--®áâì ¢¨¤ (0=0). „«ï à áªàëâ¨ï í⮩ -¥®¯à¥¤¥«¥--®á⨠¯à¥®¡à -
§ã¥¬ ¤à®¡ì, à §«®¦¨¢ ¥¥ ç¨á«¨â¥«ì ¨ §- ¬¥- ⥫ì - |
¬-®- |
¦¨â¥«¨, § ⥬ ᮪à ⨢ - x ¡ 2. ‚ १ã«ìâ ⥠|
í⮣® |
¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¬ë ¯®«ã稬 äã-ªæ¨î, ᮢ¯ ¤ îéãî á ¨á室-®© - ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥-¨ï í⮩ äã-ªæ¨¨, â.¥. - ¬-®¦¥á⢥ fx 2 R j x 6= 2g, ª í⮬㠥¥ ¢ëà ¦¥-¨î 㦥
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
¯à¨¬¥-¨¬ ⥮६ |
|
5.3. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 + 14x ¡ 32 |
|
(x ¡ 2)(x + 16) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xlim!2 x2 ¡ 6x + 8 |
|
|
= xlim!2 |
(x ¡ 2)(x ¡ 4) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x + 16 |
limx!2(x + 16) |
|
2 + 16 |
9 |
|||||||||||
|
= xlim2 |
x |
¡ |
4 |
= lim |
|
2(x |
¡ |
4) |
= |
|
|
2 |
¡ |
4 |
= ¡ : |
|
! |
|
|
|
|
x! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
+ 3x + 1 |
: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
•à¨¬¥à 3. ‚ëç¨á«¨âì xlim!1 4x2 |
+ 2x + 5 |
|
|
|
|||||||||||||
•¥è¥-¨¥. |
‡¤¥áì ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á -¥®¯à¥¤¥«¥--®áâìî |
||||||||||||||||
(1=1). „«ï - 宦¤¥-¨ï ¯à¥¤¥« |
¤ --®© ¤à®¡¨ à §¤¥- |
||||||||||||||||
«¨¬ ¨ ç¨á«¨â¥«ì, ¨ §- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¨ - |
¢ëà ¦¥-¨¥, |
||||||||||||||||
à ¢-®¥ - ¨¡®«ì襩 á⥯¥-¨ ¯¥à¥¬¥--®©, ¢áâà¥ç î饩áï |
|||||||||||||||||
¢ ¤ --®© ¤à®¡¨, ¨¬¥--®, - |
x2: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2x2 + 3x + 1 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 + x + x2 |
= 1: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|||
lim |
|
4x2 + 2x |
+ 5 = lim |
|
|||||||||||||
x!1 |
|
|
|
|
|
x!1 4 + x + x2 |
2 |
||||||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‡¤¥áì äã-ªæ¨ï 2+ x + x2 ¥áâì á㬬 |
5 |
ç¨á« |
2 ¨ ¡¥áª®-¥ç-® |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
¬ «®© äã-ªæ¨¨, äã-ªæ¨ï 4 + x + x2 ¥áâì á㬬 |
ç¨á« 2 |
|||||||||||
¨ ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ªæ¨¨ ¨ ¯®í⮬ã |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
1 |
|
; |
lim |
2 |
|
5 |
|
|
: |
xlim!1(2 + x + x2 ) = 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x!1(4 + x + x2 ) = 4 |
|
||||||||||
•à¨ ¢ëç¨á«¥-¨¨ ¯à¥¤¥«®¢ ¢ëà ¦¥-¨©, ᮤ¥à¦ é¨å |
||
âਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ äã-ªæ¨¨, ç áâ® ¡ë¢ ¥â 㤮¡-® ¨á- |
||
¯®«ì§®¢ âì â ª - §ë¢ ¥¬ë© ¯¥à¢ë© § ¬¥ç ⥫ì-ë© ¯à¥- |
||
¤¥«: |
sin x |
|
|
(1) |
|
|
xlim!0 x = 1: |
|
18
sin 5x •à¨¬¥à 4. ‚ëç¨á«¨âì ¯à¥¤¥« xlim!0 3x .
•¥è¥-¨¥. ˆ¬¥¥¬ -¥®¯à¥¤¥«¥--®áâì (0=0), ¯®í⮬ã ⥮-
६ ® ¯à¥¤¥«¥ ¤à®¡¨ -¥¯à¨¬¥-¨¬ . ‚¢¥¤¥¬ -®¢ãî ¯¥à¥- ¬¥--ãî, ®¡®§- 稢 5x = t. ’®£¤ x ! 0 ¨ t ! 0 ®¤-®¢à¥-
¬¥--®, ¨ â. ª. x = t=5, ¨¬¥¥¬
sin 5x |
sin t |
|
5 sin t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
xlim!0 3x = tlim!0 |
3 t |
|
t |
|||||||
|
|
|
|
t!0 3 |
||||||
5 |
|
|
||||||||
tg x: •à¨¬¥à 5. • ©â¨ ¯à¥¤¥« xlim!0 x
•¥è¥-¨¥.
|
tg x |
sin x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
sin x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xlim0 |
x = xlim0 |
x |
|
¢ |
cos x |
= xlim0 |
x ¢ |
|||||||
! |
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|||
‘«¥¤ãî騩 ¯à¥¤¥« -®á¨â - §¢ -¨¥ |
||||||||||||||
⥫ì-®£® ¯à¥¤¥« : |
xlim!1 µ1 + x |
¶ |
|
= e; |
||||||||||
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 ¢ 1 = 5:
=3 3
limx!0 1 : limx!0 cos x = 1
¢â®à®£® § ¬¥ç -
(2)
£¤¥ e | ®á-®¢ -¨¥ - âãà «ì-®£® «®£ à¨ä¬ . …᫨ ¢ í⮬
à ¢¥-á⢥ ¯®«®¦¨âì 1=x = ® (® ! 0 ¯à¨ x ! 1), â® ®-® ¯¥à¥¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
®)1=® = e:
®lim!0(1 +
‚ ¯à¨«®¦¥-¨ïå ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® - «¨§ ¡®«ìèãî à®«ì ¨£à ¥â ¯®ª § ⥫ì- ï äã-ªæ¨ï á ®á-®¢ -¨¥¬ e. •â
äã-ªæ¨ï y = ex - §ë¢ ¥âáï íªá¯®-¥-æ¨ «ì-®©.
•à¨¬¥à 6. ‚ëç¨á«¨âì ¯à¥¤¥« xlim!1 |
µ1 + x |
¶ |
. |
|
|
19 |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
•¥è¥-¨¥. Ž¡®§- 稬 x = 2t. ’®£¤ |
t ! 1 |
¨ x ! 1 |
|||||||||||||||||
®¤-®¢à¥¬¥--®. ˆ¬¥¥¬, |
µ1 + t |
¶ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xlim!1 µ1 + x¶ |
= tlim!1 |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= tlim!1 |
µ1 + t |
¶ |
|
¢ |
t!1 µ1 + t |
¶ |
|
|
e : |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
lim |
|
1 |
|
t |
= |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
‡ ¬¥â¨¬, çâ® -¥ ¢áïª ï äã-ªæ¨ï, ¤ ¦¥ ®£à -¨ç¥-- ï, ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«. • ¯à¨¬¥à, äã-ªæ¨ï y = cos x ¯à¨ x ! 1
¯а¥¤¥« -¥ ¨¬¥¥в. •®нв®¬г ¯®а®© ¡л¢ ¥в ¤®бв в®з-® ¢л- пб-¨вм, бгй¥бв¢г¥в «¨ ¯а¥¤¥« ¤ --®© дг-ªж¨¨, -¥ ¢лз¨б- «пп ¥£®. „«п нв®£® ¯®«м§говбп ¯а¨§- ª ¬¨ бгй¥бв¢®¢ - -¨п ¯а¥¤¥« . •а¨¢¥¤¥--л¥ -¨¦¥ а¥§г«мв вл ¯а¨¬¥¬ ¡¥§ ¤®ª § в¥«мбв¢ .
’¥®à¥¬ 6.1 (® ¯à¥¤¥«¥ ¯à®¬¥¦ãâ®ç-®© äã-ªæ¨¨).
…᫨ äã-ªæ¨ï f(x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î
'(x) 6 f(x) 6 Ã(x)
¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0, ¯à¨ç¥¬
'(x) = lim Ã(x) = A;
xlim!x0 x!x0
â® ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ f(x) ¢ ⮩ ¦¥ â®çª¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ à ¢¥- limx!x0 f(x) = A.
’¥®à¥¬ 6.2 (® ¯à¥¤¥«¥ ¬®-®â®--®© äã-ªæ¨¨). …᫨ äã-ªæ¨ï f(x) ¬®-®â®-- ¨ ®£à -¨ç¥- ¯à¨ x < x0 ¨«¨
20
¯à¨ x > x0, â® áãé¥áâ¢ã¥â ᮮ⢥âá⢥--® ¥¥ «¥¢ë©
¯à¥¤¥« limx!x0¡0 f(x) = f(x ¡ 0) ¨«¨ ¥¥ ¯à ¢ë© ¯à¥¤¥« limx!x0+0 f(x) = f(x + 0).
‘«¥¤á⢨¥. Ž£à -¨ç¥-- ï ¬®-®â®-- ï ¯®á«¥¤®¢ - ⥫ì-®áâì xn, n ! N, ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«.
’¥®à¥¬ 6.3. •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® limx!x0 f(x) = A ¨ limx!x0 g(x) = B, £¤¥ A ¨ B | -¥ª®â®àë¥ ç¨á« , ¯à¨ç¥¬ A > 0. ’®£¤
f(x)g(x) = Ab:
xlim!x0