short_metod1-3

‚¢¥¤¥¬ ⥯¥àì ¯®-ï⨥ ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨.

•ãáâì äã-ªæ¨ï y = f(x) ®¯à¥¤¥«¥- ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0, ªà®¬¥, ¡ëâì ¬®¦¥â, á ¬®© â®çª¨ x0. —¨á«® A - §ë¢ î⠯।¥«®¬ äã-ªæ¨¨ f(x) ¢ â®çª¥ x0 (¨«¨, çâ® â® ¦¥, ¯à¨ x áâ६ï饬áï ª x0, x ! x0), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì-®£® " - ©¤¥âáï â ª®¥ ¯®«®- ¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® ±, çâ® ¤«ï ¢á¥å x 6= x0, 㤮¢«¥â¢®àïî- é¨å -¥à ¢¥-áâ¢ã jx ¡ x0j < ±, ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮ jf(x)¡Aj < ". …᫨ A ï¥âáï ¯à¥¤¥«®¬ äã-ªæ¨¨ f(x) ¢

â®çª¥ x0, â® ¯¨èãâ limx!x0 f(x) = A. ”®à¬ «ì- ï § ¯¨áì í⮣® ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤

(8" > 0)(9± > 0)(8x)(jx¡x0j < ±^x 6= x0 ) jf(x)¡Aj < "):

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f(x) ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« ¢ â®çª¥ x0, â® ®- ®£à -¨ç¥- ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠í⮩

â®çª¨. „¥©á⢨⥫ì-®, ¥á«¨ limx!x0 f(x) = A, â® ¤«ï ¯à®- ¨§¢®«ì-®£® " > 0 - ©¤¥âáï â ª®¥ ç¨á«® ± > 0, çâ® ¤«ï «î-

¡®£® ç¨á« x 6= x0 ¨§ ±-®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0 ¢ë¯®«-¥-® -¥à ¢¥-á⢮ jf(x) ¡ Aj < ". •®áª®«ìªã

jf(x) ¡ Aj ¸ jf(x)j ¡ jAj;

¨§ í⮣® -¥à ¢¥-á⢠᫥¤ã¥â, çâ® jf(x)j ¡ jAj < ", â. ¥. jf(x)j < " +jAj. •ãáâì ⥯¥àì M à ¢-® ç¨á«ã " +jAj, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f(x) -¥ ®¯à¥¤¥«¥- ¢ â®çª¥ x0, ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ M à ¢-® ¡®«ì襬㠨§ ç¨á¥« " + jAj ¨ jf(x0j + 1. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ç¨á« x ¨§ ±-®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0 ¢ë- ¯®«-¥-® -¥à ¢¥-á⢮ jf(x)j < M, çâ® ¨ ®§- ç ¥â ®£à -¨- ç¥--®áâì äã-ªæ¨¨ f(x) ¢ í⮩ ®ªà¥áâ-®áâ¨.

f(x) = A ®¡ëç-®

‚ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ xlim!x0

áç¨â ¥âáï, çâ® x áâ६¨âáï ª x0 «î¡ë¬ ᯮᮡ®¬: ®áâ - ¢ ïáì ¬¥-ìè¥, 祬 x0 (á«¥¢ ®â x0), ¡®«ì訬, 祬 x0

4

(á¯à ¢ ®â x0), ¨«¨ ª®«¥¡«ïáì ®ª®«® â®çª¨ x0. Ž¤- ª®

¡ë¢ îâ á«ãç ¨, ª®£¤ ᯮᮡ ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï ¯¥à¥¬¥--®© ª ¯à¥¤¥«ì-®© â®çª¥ áãé¥á⢥--® ¢«¨ï¥â - §- ç¥-¨¥ ¯à¥- ¤¥« äã-ªæ¨¨ ¨ ¤ ¦¥ - ¥£® áãé¥á⢮¢ -¨¥. •®í⮬㠢¢®- ¤ïâ ¯®-ïâ¨ï ®¤-®áâ®à®--¨å ¯à¥¤¥«®¢ äã-ªæ¨¨.

—¨á«® A1 - §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥«®¬ äã-ªæ¨¨ y = f(x) á«¥¢ x0, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ç¨á« " > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® ± > 0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ x 2 (x0 ¡ ±; x0) ¢ë¯®«-ï-

¥âáï -¥à ¢¥-á⢮ jf(x) ¡ A1j < ". •à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ á«¥¢

§ ¯¨áë¢ îâ ¢ ¢¨¤¥ limx!x0¡0 f(x) = A1 ¨«¨ ª®à®âª® f(x0 ¡0) = A1. €- «®£¨ç-® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨

á¯à ¢ : limx!x0+0 f(x) = A2 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤

(8" > 0)(9± > 0)(8x)(x 2 (x0; x0 + ±) ) jf(x) ¡ A2j < "):

Š®à®âª® ¯¨èãâ f(x0 + 0) = A2. •à¥¤¥«ë á«¥¢ ¨ á¯à ¢

äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ - §ë¢ îâáï ®¤-®áâ®à®--¨¬¨ ¯à¥¤¥- « ¬¨.

Žç¥¢¨¤-®, çâ® ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¢ ¤ -- -®© â®çª¥, â® áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ®¤-®áâ®à®--¨¥ ¯à¥¤¥«ë ¢ í⮩ â®çª¥, ¯à¨ç¥¬ limx!x0 f(x) = f(x ¡ 0) = f(x + 0).

‘¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ®¡à â-®¥ ã⢥ত¥-¨¥: ¥á«¨ áãé¥- áâ¢ãîâ ®¡ ®¤-®áâ®à®--¨å ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ ¨ ®-¨ à ¢-ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨, ¯à¨ç¥¬

f(x) = f(x0 ¡ 0) = f(x0 + 0):

xlim!x0

…᫨ ¦¥ f(x0 ¡ 0) =6 f(x0 + 0), â® ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¢

â®çª¥ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â.

•¥à¥©¤¥¬ ª ®¯à¥¤¥«¥-¨î ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¢ ¡¥áª®-¥ç- -®áâ¨. •ãáâì äã-ªæ¨ï y = f(x) ®¯à¥¤¥«¥- ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥

(¡1; 1). —¨á«® A1 - §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥«®¬ äã-ªæ¨¨ f(x)

5

¯à¨ x ! +1, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì-®£® ç¨á« " áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ç¨á«® M > 0, çâ® ¯à¨ ¢á¥å x, 㤮¢«¥- ⢮àïîé¨å -¥à ¢¥-áâ¢ã x > M ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮

jf(x)¡A1j < ". ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¯¨èãâ limx!+1 f(x) = A1, ä®à¬ «ì- ï § ¯¨áì ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤

4.•¥áª®-¥ç-® ¡®«ì訥

¨¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ë¥ äã-ªæ¨¨.

f(x) = 1:

xlim!x0

6

• ¯à¨¬¥à, äã-ªæ¨ï y = 1=x ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì- 让 ¯à¨ x ! 0. …᫨ ¦¥ äã-ªæ¨ï y = f(x), áâ६ïáì

ª ¡¥áª®-¥ç-®á⨠¯à¨ x ! x0, ¯à¨-¨¬ ¥â ⮫쪮 ¯®«®¦¨- ⥫ì-ë¥ ¨«¨ ⮫쪮 ®âà¨æ ⥫ì-ë¥ §- ç¥-¨ï, â® ¯¨èãâ

ᮮ⢥âá⢥--®.

”ã-ªæ¨ï, ®¯à¥¤¥«¥-- ï - ¢á¥© ç¨á«®¢®© ¯àאַ©, - - §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让 ¯à¨ x ! 1, ¥á«¨ ¤«ï «î-

¡®£® ç¨á« M > 0 - ©¤¥âáï â ª®¥ ç¨á«® N > 0, çâ® ¯à¨ ¢á¥å x, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î x > N, ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮ jf(x)j > M. ‘¨¬¢®«¨ç¥áª¨,

f(x) = 1 ()

xlim!1

(8M > 0)(9N > 0)(8x)(x > N ) jf(x)j > M):

€- «®£¨ç-® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®-ï⨥ ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让 äã-ªæ¨¨ - ¡1.

• ¯à¨¬¥à, äã-ªæ¨ï y = 2x ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì- 让 ¯à¨ x ! +1.

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ à£ã¬¥-â x, áâ६ïáì ª ¡¥áª®-¥ç-

-®áâ¨, ¯à¨-¨¬ ¥â «¨èì - âãà «ì-ë¥ §- ç¥-¨ï, â® ¥áâì x 2 N, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ìè ï äã-ªæ¨ï

áâ -®¢¨âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâìî. Žç¥¢¨¤-®, çâ® ª ¦¤ ï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ìè ï ¯à¨ x ! x0

äã-ªæ¨ï ï¥âáï -¥®£à -¨ç¥--®© ¢ ª ¦¤®© ®ªà¥áâ-®- á⨠â®çª¨ x0. Ž¡à â-®¥ ¦¥ ã⢥ত¥-¨¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,

-¥¢¥à-®: äã-ªæ¨ï y = x sin x ï¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩

¨««îáâà 樥©, â® ¥áâì -¥®£à -¨ç¥-- ï äã-ªæ¨ï ¢®¢á¥ -¥ ®¡ï§ - ¡ëâì ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让.

7

•¥à¥©¤¥¬ ª ®¯à¥¤¥«¥-¨î ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ªæ¨¨. ”ã-ªæ¨ï y = f(x) - §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨

x ! x0, ¥á«¨ limx!x0 f(x) = 0: €- «®£¨ç-® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï äã-ªæ¨ï ¯à¨ x ! x0 ¡ 0, x ! x0 + 0,

x ! ¡1, x ! +1: ¢® ¢á¥å íâ¨å á«ãç ïå ¯¨èãâ f(x) ! 0.

•¥áª®-¥ç-® ¬ «ë¥ äã-ªæ¨¨ ç áâ® - §ë¢ îâ ¯à®áâ® "¡¥á- ª®-¥ç-® ¬ «ë¬¨" ¨ ®¡®§- ç îâ áâà®ç-묨 £à¥ç¥áª¨¬¨ ¡ãª¢ ¬¨ ®, ¯ ¨ â. ¤. •à¨¬¥à ¬¨ ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ëå äã-ª-

権 á«ã¦ â äã-ªæ¨¨ y = x2 ¯à¨ x ! 0; y = x3 ¡ 8 ¯à¨

x ! 2; y = sin x ¯à¨ x ! (¼k), k 2 Z. ‘¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï

’¥®à¥¬ 4.1. €«£¥¡à ¨ç¥áª ï á㬬 ª®-¥ç-®£® ç¨á« ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ëå äã-ªæ¨© ¥áâì ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï äã-ª- æ¨ï.

„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì ®(x) ¨ ¯(x) ¤¢¥ ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ë¥ äã-ªæ¨¨ ¯à¨ x ! x0. •â® §- ç¨â, çâ® ®(x) ! 0 ¨ ¯(x) ! 0 ¯à¨ x ! x0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® " > 0 - ©¤ãâáï ç¨á« ±1 ¨ ±2, â ª¨¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å x, 㤮¢«¥â¢®- àïîé¨å -¥à ¢¥-á⢠¬ 0 < jx ¡x0j < ±1 ¨ 0 < jx ¡x0j < ±2 ᮮ⢥âá⢥--®, ¨¬¥îâ ¬¥áâ® -¥à ¢¥-á⢠j®(x)j < "=2 ¨ j¯(x)j < "=2. •ãáâì ⥯¥àì ± = min(±1; ±2). ’®£¤ ¤«ï ¢á¥å

x, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å -¥à ¢¥-áâ¢ã 0 < jx ¡ x0j < ±, á¯à - ¢¥¤«¨¢® -¥à ¢¥-á⢮

" "

j®(x) + ¯(x)j < j®(x)j + j¯(x)j < 2 + 2 = ":

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ë¯®«-¥-ë ãá«®¢¨ï ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì-®,

®(x) + ¯(x)) = 0:

xlim!x0(

8

ˆâ ª, äã-ªæ¨ï ®(x) + ¯(x) ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨ x ! x0. ‘¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ã⢥ত¥-¨ï ¤«ï ¯à®¨§-

¢®«ì-®£® ª®-¥ç-®£® ç¨á« ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ëå á« £ ¥¬ëå ¤®ª §ë¢ ¥âáï - «®£¨ç-®.

‘«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥-¨¥ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ ¢ë- ç¨á«¥-¨¨ ¯à¥¤¥« á«®¦-®© äã-ªæ¨¨.

’¥®à¥¬ 4.2. •à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ®£à -¨ç¥--®© äã-ªæ¨¨ - ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ãî äã-ªæ¨î ¥áâì äã-ªæ¨ï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï.

„®ª § ⥫ìá⢮. ’®ç-¥¥ £®¢®àï, ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f(x) ®£à -¨ç¥- ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®áâ¨

â®çª¨ x0 ¨ äã-ªæ¨ï ®(x) ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨ x ! x0, â® ¨ äã-ªæ¨ï f(x) ¢ ®(x) ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨ x ! x0. „«ï í⮣® 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì-®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® " > 0 ¨ ¤®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï ¢á¥å x ¨§ -¥ª®â®à®© ±-®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0 ¢ë¯®«-¥-® -¥à ¢¥--

á⢮

jf(x) ¢ ®(x)j < ":

•ãáâì ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® ±1 â ª®¢®, çâ® äã-ªæ¨ï f(x) ®£à -¨ç¥- ¢ ±1-®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0, â. ¥. áãé¥- áâ¢ã¥â â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® M, çâ®

¤«ï ¢á¥å x ¨§ ±1-®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0. ’ ª ª ª äã-ªæ¨ï ®(x) ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨ x ! x0, â® - ©¤¥âáï â ª®¥ ç¨á«® ±2 > 0, çâ® ¯à¨ ¢á¥å x, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å -¥à ¢¥-áâ¢ã 0 < jx ¡ x0j < ±2, ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮

9

Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ ± - ¨¬¥-ì襥 ¨§ ç¨á¥« ±1 ¨ ±2. ’®£¤

¤«ï ¢á¥å x, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î 0 < jx ¡ x0j < ±,

¢л¯®«-повбп ®¡ -¥а ¢¥-бв¢ (1) ¨ (2). ‘«¥¤®¢ в¥«м-®,

jf(x) ¢ ®(x)j = jf(x)j ¢ j®(x)j < M ¢ M" = ":

€ íâ® ¨ ®§- ç ¥â, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ f(x) ¢®(x) ¥áâì ¡¥áª®- -¥ç-® ¬ « ï äã-ªæ¨ï ¯à¨ x ! x0. ’¥®à¥¬ ¤®ª § - .

’ ª ª ª ¢áïª ï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï äã-ªæ¨ï ®£à -¨- ç¥- , ¨§ í⮩ â¥®à¥¬ë ¯®«ãç ¥âáï

‘«¥¤á⢨¥ 1. •à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «ëå äã-ªæ¨© ¥áâì äã-ªæ¨ï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï.

€ â ª ª ª ¯à®¨§¢®«ì-®¥ ç¨á«® ¬®¦-® áç¨â âì ®£à -¨- ç¥--®© äã-ªæ¨¥© (¯à¨-¨¬ î饩 ®¤-® ¨ â® ¦¥ §- ç¥-¨¥), ¯®«ãç ¥¬

‘«¥¤á⢨¥ 2. •à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ª- 樨 - ç¨á«® ¥áâì äã-ªæ¨ï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï.

’¥®à¥¬ 4.3. — áâ-®¥ ®â ¤¥«¥-¨ï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ªæ¨¨ - äã-ªæ¨î, ¨¬¥îéãî ®â«¨ç-ë© ®â -ã«ï ¯à¥- ¤¥«, ¥áâì äã-ªæ¨ï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï.

„®ª § ⥫ìá⢮. Š ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ⥮६ë 4.2, ¡®«¥¥ â®ç- ï ä®à¬ã«¨à®¢ª í⮩ â¥®à¥¬ë ®§- ç ¥â, çâ® ¥á«¨ ®(x) | ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï ¯à¨ x ! x0 ¨ limx!x0 f(x) = a,

£¤¥ a 6= 0, â® äã-ªæ¨ï ®(x)=f(x) ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨ x ! x0. ’ ª ª ª

¢¢¨¤ã ⥮६ë 4.2 ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠í⮣® ¤®áâ â®ç-® ¯®ª § âì, çâ® äã-ªæ¨ï 1=f(x) ï¥âáï ®£à -¨ç¥--®© ¢

-¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0.

10

•®áª®«ìªã limx!x0 f(x) = a, ¤«ï ¯®«®¦¨â¥«ì-®£® ç¨á« " = jaj=2 - ©¤¥âáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® ±,

çâ® ¯à¨ ¢á¥å x â ª¨å, çâ® 0 < jx ¡ x0j < ±, ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮ jf(x) ¡ aj < ". € â ª ª ª

jf(x) ¡ aj = ja ¡ f(x)j ¸ jaj ¡ jf(x)j;

®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® jaj ¡ jf(x)j < ", â. ¥.

jf(x)j > jaj ¡ " = jaj=2:

•®áª®«ìªã ®¡¥ ç á⨠-¥à ¢¥-á⢠jf(x)j > jaj=2 ¯®«®¦¨- ⥫ì-ë, ¨§ -¥£® á«¥¤ã¥â -¥à ¢¥-á⢮

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® ç¨á« x ¨§ ±-®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0 ¢ë¯®«-¥-® -¥à ¢¥-á⢮ j1=f(x)j · M, £¤¥ ç¨á«® M à ¢-® 2=jaj, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f(x) -¥ ®¯à¥¤¥«¥- ¢ â®çª¥ x0, ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ M à ¢-® - ¨¡®«ì襬㠨§ ç¨á¥« 2=jaj ¨ jf(x0j. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, äã-ªæ¨ï 1=f(x) ï¥âáï

®£à -¨ç¥--®© ¢ ±-®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0, ¨ ⥮६ ¤®ª - § - .

’¥®à¥¬ 4.4. …᫨ äã-ªæ¨ï ®(x) ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï ¨ ¢á¥ ¥¥ §- ç¥-¨ï ®â«¨ç-ë ®â 0, â® äã-ªæ¨ï 1=®(x) ¡¥áª®- -¥ç-® ¡®«ìè ï. • ®¡®à®â, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f(x) ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ìè ï, â® äã-ªæ¨ï 1=f(x) ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï.

„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì äã-ªæ¨ï ®(x) ï¥âáï ¡¥á- ª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨ x ! x0 ¨ ¯ãáâì M > 0 | ¯à®¨§- ¢®«ì-®¥ ç¨á«®. •® ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨î ¤«ï ç¨á« " = 1=M

11

áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® ± â ª®¥, çâ® ¤«ï «î- ¡ëå x, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î 0 < jx ¡ x0j < ±, ¢ë- ¯®«-¥-® -¥à ¢¥-á⢮ j®(x)j < ". ’ ª ª ª íâ® -¥à ¢¥-á⢮ à ¢-®á¨«ì-® -¥à ¢¥-áâ¢ã j1=®(x)j > M, äã-ªæ¨ï 1=®(x) ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让 ¯à¨ x ! x0. ‚â®à®¥ ã⢥à-

¦¤¥-¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï - «®£¨ç-®.

‚ § ª«îç¥-¨¥ ¯®ª ¦¥¬, ª ª ᢮©á⢮ á室¨¬®á⨠äã-ªæ¨¨ ª -¥ª®â®à®¬ã ¯à¥¤¥«ã ¬®¦-® ¢ëà §¨âì á ¯®- ¬®éìî ¯®-ïâ¨ï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ªæ¨¨.

’¥®à¥¬ 4.5. …᫨ äã-ªæ¨ï f(x) ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«, à ¢- -ë© A, â® ¥¥ ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ç¨á« A ¨ ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ªæ¨¨, â. ¥. ¥á«¨ f(x) ! A ¯à¨ x ! x0, â® f(x) = A + ®(x) ¤«ï -¥ª®â®à®© ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ®(x).

„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì f(x) ! A ¯à¨ x ! x0. •®« - £ ï ®(x) = f(x)¡A, ¯®ª ¦¥¬, çâ® äã-ªæ¨ï ®(x) ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨ x ! x0. ’ ª ª ª f(x) = A + ®(x),

⥬ á ¬ë¬ â¥®à¥¬ ¡ã¤¥â ¤®ª § - .

‚®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì-®¥ " > 0. •®áª®«ìªã f(x) ! A ¯à¨ x ! x0, - ©¤¥âáï â ª®¥ ç¨á«® ± > 0, çâ® ¯à¨ «î¡®¬ x, 㤮¢«¥â¢®àïî饬 ãá«®¢¨î 0 < jx ¡ x0j < ±, ¢ë¯®«- -¥-® -¥à ¢¥-á⢮ jf(x) ¡ Aj < ". ’ ª ª ª íâ® -¥à ¢¥-á⢮ ᮢ¯ ¤ ¥â á -¥à ¢¥-á⢮¬ j®(x)j < ", ¬ë ¤®ª § «¨, çâ®

limx!x0 ®(x) = 0, â. ¥. çâ® ®(x) ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ - «®© ¯à¨ x ! x0.

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