Степенные ряды

Теоретический материал по теме изложен на с. 88-106 данного издания.

Пример 10. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Составим положительный ряд из абсолютных величин членов исходного ряда с общим членомПо признаку Даламбера полученный ряд сходится, если пределсуществует и удовлетворяет условию.

Отсюда получим иличто равносильноили. Получили интервал сходимости.

Изучим поведение ряда на концах полученного интервала. На правом конце интервала получаем числовой ряд, который сравним со сходящимся рядом(обобщенный гармонический ряд при).

значит, по второму признаку сравнения ряд сходится. На левом конце интервалаполучаем знакочередующийся числовой ряд. Он сходится абсолютно, так как рядсходится. Итак, область сходимости данного ряда:.

Для разложения функций в степенной ряд целесообразно пользоваться следующими разложениями:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ряды 1-6 сходятся при указанных в скобках условиях.

Пример 11. Разложить в ряд по степеням функцию.

Решение. Преобразуем искомую функцию:

В разложении заменим переменнуювыражением,

Этот ряд сходится абсолютно при , то есть при. Окончательно имеем:

Пример 12. Разложить по степеням функцию.

Решение. Используя формулу

запишем данную функцию в виде

Применяя разложение для и заменяя аргумент x на , запишем

4.1.2. Методические указания к выполнению контрольной работы № 6 Двойные интегралы

Теоретический материал по теме изложен на с. 107-121 данного издания.

Пример 13. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Сделать чертеж области интегрирования.

Решение.Переменная в области изменяется в промежутке: , то есть областьD заключена между горизонтальными прямыми: и. Пределы интегрирования по переменной показывают, что слева область D ограничена линией , то есть осью, а справа – линией, которая является гиперболой. На рис. 1 областьD заштрихована. Теперь поменяем порядок интегрирования, приняв за внешнюю переменную не , а. Поскольку верхняя граница области D состоит из двух участков, заданных по-разному: приипри, то разобьем областьD вертикальной прямой на областии. Тогда

Пример 14. Найти массу пластины, ограниченной линиями: и, имеющей плотность.

Решение. Область интегрирования D ограничена снизу параболой , а сверху прямой (рис. 2). Точки пересечения этих линий и . Переменная изменяется в пределах. Получим:

Вычислим сначала внутренний интеграл, считая фиксированной величиной, а затем - внешний интеграл

Рис. 3

Пример 15. Найти площадь части поверхности кругового цилиндра, вырезанной плоскостями, лежащей в первом октанте (рис. 3).

Решение. Из уравнения кругового цилиндра выразим . Найдем частные производные этой функции: .

Площадь S рассматриваемой поверхности будем вычислять по формуле:

Пример 16. Найти объем тела , заданного неравенствами:

Решение. Данное тело изображено на рис. 4. Оно ограничено цилиндром , частью конуса и координатной плоскостью . Проекцией данного тела на плоскость является круг радиусом 1 с центром, расположенным на оси в точке .

Перейдем к полярным координатам. Учитывая, что , запишем уравнение окружности, ограничивающей областьв полярных координатах:Тогда для области. Следовательно, учитывая, что Якобиан равен, будем иметь