4.4.2. Список типовых задач для подготовки к экзамену

1. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию:

а) б)

в) .

2. Найти общее решение уравнения или общий интеграл уравнения:

а) 2xy'y"=(y')²+1; б) y"(1+y)=8(y')²; в) y"'=sin 3x.

3. Вычислить , еслиy=f(x) является решением дифференциального уравнения y'cos x=sin x, удовлетворяющим начальным условиям .

4. Найти общее решение уравнения:

а) y"+2y'=0, б) y"-9y=0, в) y"+16y=0,

г) y"+8y'+16y=0, д) y"+7y'-8y=0, е) y'"+2y"+2y'=0.

5. Указать вид частного решения линейного неоднородного уравнения:

а) y"-6y'+9y=xe^3x , б) 4y"+4y'=x-sin 2x,

в) y"+4y'+4y=x²cos 2x , г) 8y"+2y'-3y=x²e^x/2,

д) y"+4y'+y=xe^-2x+cos 2x, е) y"+y=x²sin x-2cos x.

6. Найти решение уравнения y"-4y'+4y=x+8e^2x-xe^x, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0; y'(0)=1.

7. Найти общее решение методом вариации производных постоянных:

а) y"+y=tg x, б) y"+2y'+y=.

8. Пользуясь определением, найти сумму ряда .

9. Исследовать на сходимость положительные ряды:

а) , б) , в) ,

г) , д), е).

10. Определить условно или абсолютно сходятся ряды:

а)

б)

11. Указать область абсолютной сходимости рядов:

а) , б) , в) .

12. Представить в виде ряда функцию .

13. Найти область сходимости рядов:

а) , б) , в) , г) .

14. Написать ряд Маклорена для функций: а) y=(x-tg x)cos x, б).

15. Найти решение дифференциального уравнения в виде ряда.

а) y"+2x²y'-y=0, y(0)=y'(0)=1, б) y'=1+x-y² , y(0)=1.

16. Разложить в ряд Фурье функцию

,при,на интервале [-10, 10], взяв его длину за период.

17. Разложить в ряд Фурье f(x)=3x-x² по синусам, считая полупериодом.

18. Вычислить: а) где

б) , гдев)где.

19. Изобразить область интегрирования и вычислить:

а) , б).

20. Изменить порядок интегрирования: .

21. Вычислить , где

а)

б)

в)

22. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

а) x²+y²=2z, x²+y²=1, z=0; б) x=y², y=x², z=12-x²-y²_.

23. Вычислить криволинейные интегралы:

а) гдеL – контур прямоугольника, образованного прямыми x=0, x=4, y=0, y=2;

б) гдеL - отрезок прямой между точками A(0;-2) и B(2,0).

24. С помощью криволинейного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной контуром .

25. Доказать, что выражение:

является полным дифференциалом некоторой функции, найти ее.

181