Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Теоретический материал по теме изложен на с. 32-40 данного издания.

Пример 4. Найти общее решение уравнения:

Решение. Считая, что , запишем данное уравнение в видеи последовательно его проинтегрируем

где - произвольные постоянные.

Общее решение имеет вид:

Пример 5. Найти общее решение уравнения , считая

Решение. Это уравнение не содержит функции . Его порядок можно понизить введением новой функции . Тогда и уравнение примет вид:

Считая, что , разделим переменныеи проинтегрируем (случай рассматривается аналогично)

где - произвольная положительная постоянная. Теперь можем написать

или возвращаясь к функции

Выполняя интегрирование, получим

где - произвольная постоянная.

Функция содержится в общем решении прии не является особым решением.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение не содержит аргумента . Порядок его понижается введением новой функции , зависящей явно от аргумента . При этом

Подставляя в исходное уравнение вместо и их выражения через функцию , получим уравнение первого порядка:

Разделим переменные, считая и(случайрассматривается аналогично)

и проинтегрируем полученное уравнение:

или в таком виде

,

где - произвольная положительная постоянная.

Возвращаясь к искомой функции , запишем

Разделив переменные, проинтегрируем это уравнение:

где - произвольная постоянная.

Окончательно, общее решение исходного уравнения: . Функцияне является особым решением уравнения, так как она содержится в его общем решении при

Линейные дифференциальные уравнения

Теоретический материал по теме изложен на с. 41-57 данного издания.

Пример 7. Найти общее решение уравнения .

Решение. Выпишем характеристическое уравнение данного линейного уравнения: или. Среди его корней есть коренькратностии пара комплексно-сопряженных корней,. Фундаментальную систему решений образуют функции

Общее решение уравнения:

где - произвольные постоянные.

Пример 8. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Решение задач такого типа целесообразно проводить по следующей схеме.

1. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения . Его характеристическое уравнениеимеет корни:. Фундаментальная система решений: общее решение однородного уравнения:

где - произвольные постоянные.

2. Ищем частное решение неоднородного уравнения по виду правой части: . Так как числосовпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

Чтобы определить неизвестные коэффициенты и , подставим в исходное уравнение выражения для и учтем, что уравнение обратится при этом в тождество.

Приравниваем коэффициенты при функциях и, стоящих в левой и правой частях уравнения:

получаем

Частное решение неоднородного уравнения: .

3. Общее решение данного неоднородного уравнения:

4. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, вычислим производную общего решения :

Подставим в и начальные значения ;

откуда

Из общего решения при иполучим искомое частное решение

или

Пример 9. Указать вид частного решения уравнения

Решение. 1. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: . Его характеристическое уравнение имеет вещественные простые корни:

2. В правой части уравнения стоит сумма двух функций: . Частное решение этого уравнения представляет собой также сумму двух функций (по принципу наложения решений): Здесь - частное решение уравнения: ;- частное решение уравнения. Найдем вид здесь совпадает с корнем характеристического уравненияпервой кратности, а коэффициент приравен 2, поэтомугдеА - некоторая постоянная. Теперь найдем вид здесь не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, а коэффициент при- линейная функция аргументах, поэтому , гдеB и C – некоторые постоянные. Окончательно получим