I. Теплопроводность

При создании градиента температуры в металлическом образце концентрации электронов и фононов на холодном конце образца будут меньше соответствующих концентраций на горячем конце образца. Стремление выровнять концентрации по всему объему образца приводит к возникновению направленных потоков фононов и электронов от горячего конца к холодному.

При направленном движении фононов и электронов возможно их рассеяние на других фононах и на дефектах кристаллической структуры. Это ограничивает длину свободного пробега ℓ, которая определяется средней концентрацией рассеивающих центров. При рассеянии на фононах длина свободного пробега обратно пропорциональна средней концентрации фононов <n_ф> и эффективному сечению рассеяния σ*:

и

Эффективное сечение рассеяния определяется той областью пространства, которую охватывает атом при своих колебаниях. Если амплитуда колебаний равна А, то σ* ~ πA²– площади сечения сферы радиусом А. При высоких температурахT>Θ_Dпочти все фононы имеют максимальную энергию и амплитуды колебаний у них одинаковы, что приводит к независимости σ* от температуры. Поэтому при высоких температурах длина свободного пробега как фононов, так и электронов оказывается обратно пропорциональна температуре: ℓ ~ 1/Т.

Вторым механизмом рассеяния является рассеяние на статических дефектах кристаллической решетки – ионах примесей, вакансиях, дислокациях и т.д. Концентрация этих дефектов и эффективное сечение рассеяния практически не зависит от температуры и сказывается только при низких температурах.

Определить теплоту, переносимую фононами и электронами, можно, зная соответствующие коэффициенты теплопроводности.

1. Решеточная теплопроводность.

Представление о тепловом движении атомов в металле как о газе фононов позволяет вычислять решеточную теплопроводность λ согласно молекулярно-кинетической теории газов:

где c_ф– теплоемкость фононов, ℓ_ф– средняя длина свободного пробега фононов,v_зв– средняя скорость фононов, равная скорости звука.

При T>Θтеплоемкость фононного газа равнаc_ф= 3Nk, гдеN– число атомов в единице объема. Это приводит к зависимости λ_ф~1/T.

С уменьшением температуры теплоемкость начинает зависеть от температуры по кубическому закону Дебая c_ф~T³. При этом наиболее существенным фактором являются уменьшение концентрации и увеличение длины свободного пробега фононов. Рост длины свободного пробега фононов ограничен рассеянием на дефектах структуры и при низких температурах ℓ_ф=const. Это означает, что при низких температурахT>Θфононная теплопроводность пропорциональна кубу температурыλ_ф~T³.

2. Электронная теплопроводность.

Считая электроны газом свободных частиц, можем записать для электронной теплопроводности

где c_эл– теплоемкость электронов, ℓ_эл– средняя длина свободного пробега электронов,v_F– средняя скорость электронов.

В области высоких температур T>Θтеплоемкость электронного газа линейно зависит от температурыc_эл~ Т. Это приводит к постоянству коэффициента электронной теплопроводностиλ_эл~T·1/T=const.

По мере уменьшения температуры и соответствующего уменьшения концентрации фононов электронная теплопроводность растет с понижением температуры как λ_эл~ 1/T². При дальнейшем понижении температуры наступает момент, когда длина свободного пробега электронов становится константой. Это приводит к зависимостиλ_эл~TприT<Θ.

3. Относительный вклад электронной и фононной подсистем.

Для определения вклада колебаний кристаллической решетки (фононов) и свободных электронов в теплопроводность металлов рассмотрим отношение их коэффициентов теплопроводностей

Для чистых металлов c_эл/c_ф≈ 10^-2,v_F/v_зв≈ 10³, ℓ_эл/ℓ_ф≈ 10 и поэтому для нихλ_эл/λ_ф~10-100, т.е.в металлах основными переносчиками тепла являются электроны. В неупорядоченных сплавах длины свободного пробега как фононов так и электронов определяются главным образом структурными неоднородностями кристаллической решетки и в них электронная теплопроводность по порядку величину равна решеточной.