ФИЗИКА3 БОЛЬШЕ ГОТОВОГО1 / 1-st / Заготовки / Работа 8

Работа 8. определение момента инерции симметричного тела

Цель работы - определить момент инерции сим­метричного тела.

Общие сведения

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от распределения массы тела относительно оси вращения . Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек . Тогда момент инерции тела

или

,

где m_i - масса элемента; r_i - расстояние от элемента до оси вращения;  - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

В данной работе для определения момента инерции тела используется метод крутильных колебаний.

Если тело, висящее на нерастяжимой нити (так, что направление нити проходит через центр тяжести тела), повернуть в горизонтальной плоскости на некоторый угол , то в результате деформации нити возникнет упругая сила. Она создаст крутящий момент (момент силы) М , возвращающий систему в исходное состояние. В результате возникнут крутильные колебания.

Известно, что при небольших отклонениях от равновесия момент М пропорционален углу . Введя коэффициент пропорциональности D - модуль кручения, зависящий от упругих свойств нити, получим

М = -D.

Если пренебречь силами сопротивления, то основной закон динамики вращательного движения можно записать в виде

М = -D = J .                                (1)

Учитывая, что

уравнение (1) можно привести к виду

.                                  (2)

Решением уравнения (2) являются функции синуса или косинуса

(здесь - амплитудное значение угла отклонения;  - круговая частота; - начальная фаза), дифференцируя которые два раза по времени, получим

.                                    (3)

Уравнение (3) тождественно уравнению (2), если

.                                  (4)

Так как , где T - период колебаний, то уравнение (4) можно записать в виде

.                             (5)

Из этой формулы можно найти момент инерции тела по измеренному периоду колебаний.

В измерениях используют установку, состоящую из трехкулачкового патрона, подвешенного к нижнему концу тонкой упругой проволоки, верхний конец которой закреплен во втулке, соединенной с рычагом пускового механизма. Вся система вертикально прикреплена к штативу с помощью специального кронштейна. Измеряется период колебаний патрона, патрона и сплошного цилиндра и патрона и исследуемого тела.

Пусть J_о - момент инерции патрона; J₁ - момент инерции сплошного цилиндра; J_х - момент инерции испытуемого тела. Тогда

             (6)

где Т₀ - период колебаний патрона; Т₁ - период колебаний патрона и сплошного цилиндра; Т_х - период колебаний патрона и исследуемого тела; D - модуль кручения.

Из уравнений (6), исключив D и J₀, можно получить

                                 (7)

Момент инерции сплошного цилиндра

                                     (8)

где m и R - масса и радиус цилиндра, m = V;  - плотность материала цилиндра,  = 7,710³ кг/м³; V - его объем, V = R²h; h - высота цилиндра.

Таким образом,

(9)

Более точно момент инерции цилиндра можно определить, если учесть момент инерции держателя . Однако  J, поэтому можно пренебречь.

Порядок выполнения работы

Перед началом измерений необходимо убедиться в правильности установки прибора по уровню. Работая с прибором, следует соблюдать следующие правила: проволоку нельзя сгибать, растягивать и т.п.; нельзя допускать на приборе колебания подвеса с большой амплитудой (угол отклонения системы от положения равновесия не должен превышать 10).

Последовательность проведения измерений следующая:

1) придерживая кулачковый патрон, чтобы он не пришел в колебательное движение, правой рукой сблизить рычаги пускового механизма (пластинчатая пружина "защелкивается" за выступ, проволока приводится в состояние покоя);

2) нажав на конец пластинчатой пружины, ввести в действие пусковой механизм, вызывающий крутильные колебания патрона;

3) определить с помощью секундомера время 50 полных колебаний системы t₀ и найти период колебаний Т₀ = t₀/50. Повторить опыт несколько раз;

4) аналогично определить периоды колебаний патрона с цилиндром (Т₁) и с исследуемым телом (Т_х);

5) измерить диаметр цилиндра и по формуле (9) рассчитать момент инерции J₁.

Результаты измерений оформить в виде таблицы:

Номер опыта	m	T0	T1	Tx	Jx

Вычислив средние значения Т₀, Т₁ и Т_х, по формуле (2) рассчитать момент инерции J_x.

Так как на установке проводятся многократные измерения, то целесообразно вычислить среднее квадратическое отклонение Удобно сначала рассчитать относительную погрешность а затем . На основании формул теории погрешности можно получить (необходимо уметь выводить это соотношение)

где , и - средние квадратические отклонения Т_х, Т₀ и Т₁,

n - число измерений; - среднее значение соответствующего периода колебаний; - период, найденный в каждом опыте. Обычно .

Среднее квадратическое отклонение момента инерции цилиндра

где _ = 10² кг/м³; _h и _R - отклонения, обусловленные неточностью измерительных приборов (приборные погрешности). Окончательный результат измерений следует представить в виде

Контрольные вопросы

1. В чем заключается физический смысл момента инерции? От чего зависит момент инерции?

2. В чем состоит сущность метода крутильных колебаний?

3. От чего зависит период крутильных колебаний?

4. Выведите формулы (1) и (4).

5. Как определить момент инерции цилиндра?