4.4.Блок итогового контроля
4.4.1.Вопросы для подготовки к экзамену по 3-му семестру
1.Определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка и решения. Дифференциальное уравнение первого порядка, поле направлений, изоклины.
2.Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
3.Определение общего и частного решения (интеграла) дифференциального уравнения первого порядка.
4.Уравнение с разделяющимися переменными, его интегрирование.
5.Линейное уравнение первого порядка, его интегрирование.
6.Однородное дифференциальное уравнение первого порядка, его интегрирование.
7.Дифференциальное уравнение n-го порядка. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка.
8.Определение общего и частного решения дифференциального уравнения n-го
порядка. Интегрирование уравнения вида y(n) = f (x) .
9.Уравнения, допускающие понижение порядка. Метод интегрирования уравнения вида y(n) = f (x, y(k) ,..., y(n−1) ) , где k < n.
10.Метод интегрирования уравнения вида y′′ = f ( y, y′) .
11.Определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Однородное линейное уравнение. Свойства решений однородного линейного уравнения.
12.Определение линейно-зависимых и линейно-независимых функций. Примеры.
13.Определение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
14.Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка.
15.Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера, характеристическое уравнение.
16.Построение фундаментальной системы решений и общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка в случае вещественных различных корней характеристического уравнения. Пример.
17.Построение фундаментальной системы решений и общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка в случае комплексносопряженных корней характеристического уравнения. Пример.
18.Построение фундаментальной системы решений и общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка в случае вещественных равных
176
корней характеристического уравнения. Пример.
19. Правило нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид f (x) = Pn (x)eax , где Pn (x) - многочлен степени n .
20. Правило нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид f (x) = eax ( Acos bx + B sin bx) , где A, B R, A2 + B2 ≠ 0 .
21. Метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения вида p0 (x) y(n) + p1(x) y(n−1) +... + pn (x) y = f1(x) + f2 (x) (принцип наложения). 22. Система линейных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Определение общего и частного решения системы. Метод исключения для нормальных систем дифференциальных уравнений.
23. Системы линейных дифференциальных уравнений. Свойства решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
24. Числовые ряды. Определение n-ой частичной суммы ряда. Понятия сходимости и расходимости числового ряда. Сумма сходящегося ряда. Геометрический ряд.
25. Свойства сходящихся рядов: умножение ряда на число, почленное сложение рядов.
26. Остаток ряда. Теорема об одновременной сходимости ряда и его остатка. 27. Необходимый признак сходимости ряда. Иллюстрация его недостаточности на примере.
28. Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда.
29. Первый и второй признаки сравнения положительных рядов.
30. Признак Даламбера.
31. Интегральный признак Коши.
32. Обобщенный гармонический ряд ∑∞ 1p , где p – любое действительное
n=1 n
число. Поведение ряда при p<1, p=1, p>1.
33. Знакопеременные ряды. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
34. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка абсолютной погрешности при замене суммы сходящегося ряда суммой первых n его членов.
35.Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда.
36.Степенной ряд. Теорема Абеля.
37.Область сходимости степенного ряда. Определение радиуса и интервала сходимости. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда с помощью признака Даламбера.
177
38.Свойства сходящихся степенных рядов.
39.Единственность представления функции f (x) степенным рядом. Ряд
Тейлора. |
|
f (x) = ex , |
40. Разложение в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0 функций |
||
f (x) = sin x , f (x) = cos x . |
функций |
|
41. Разложение |
в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0 |
|
f (x) = ln(1+ x) , |
f (x) = arctgx . |
|
42.Биномиальный ряд для функции f (x) = (1+ x)α .
43.Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла.
44.Основные свойства двойного интеграла.
45.Геометрический смысл двойного интеграла. Оценка двойного интеграла. Теорема о среднем.
46.Вычисление двойного интеграла сведением его к двукратному. Пример.
47.Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам. Пример.
48.Геометрические, физические и механические приложения двойных интегралов.
49.Определение криволинейного интеграла I рода. Теорема существования криволинейного интеграла I рода.
50.Свойства криволинейного интеграла I рода, его вычисление.
51.Определение криволинейного интеграла II рода. Теорема существования криволинейного интеграла II рода.
52.Свойства криволинейного интеграла II рода, его вычисление.
53.Формула Грина и ее приложения.
54.Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
55. Способ нахождения функции U (x, y) по ее полному дифференциалу
P(x, y)dx +Q(x, y)dy .
4.4.2. Список типовых задач для подготовки к экзамену
1. |
Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию: |
|||||||
а) |
xy′+ y = ex ; y(2) = 0; |
б) ( xy − x)dy + ydx = 0; y(1) =1; |
||||||
|
|
′ |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
xy |
+ y = y ; y(1) |
|
|
|
|
|
|
в) |
= 2 . |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
2. |
Найти общее решение уравнения или общий интеграл уравнения: |
|||||||
а) 2xy'y"=(y')2+1; |
б) y"(1+y)=8(y')2; |
в) y"'=sin 3x. |
||||||
178
3. |
Вычислить |
f (2π/ 3), |
если |
y=f(x) |
является |
решением |
дифференциального уравнения |
y'cos x=sin x, удовлетворяющим начальным |
|||||
условиям y (π/ 2) =1. |
|
|
|
|
||
4. |
Найти общее решение уравнения: |
|
|
|
||
а) y"+2y'=0, |
б) y"-9y=0, |
|
в) y"+16y=0, |
|
|
|
г) y"+8y'+16y=0, |
д) y"+7y'-8y=0, |
е) y'"+2y"+2y'=0. |
|
|||
5. |
Указать вид частного решения линейного неоднородного уравнения: |
|||||
а) y"-6y'+9y=xe3x |
, |
б) 4y"+4y'=x-sin 2x, |
|
|
||
в) y"+4y'+4y=x2cos 2x , |
г) 8y"+2y'-3y=x2ex/2, |
|
|
|||
д) y"+4y'+y=xe-2x+cos 2x, |
е) y"+y=x2sin x-2cos x. |
|
||||
6.Найти решение уравнения y"-4y'+4y=x+8e2x-xex, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0; y'(0)=1.
7.Найти общее решение методом вариации производных постоянных:
а) y"+y=tg x, |
|
|
|
|
|
|
б) y"+2y'+y= |
|
|
|
e−x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +6 |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
|
Пользуясь определением, найти сумму ряда ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n(n + 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|||||||
Исследовать на сходимость положительные ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
∑ |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∑sin |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n2 |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∞ |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
г) ∑ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
д) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
е) ∑ |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 +n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10. |
Определить условно или абсолютно сходятся ряды: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
−... +(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+...; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
б) |
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
−…+ (−1) n+1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+…? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ln 2 |
ln 3 |
|
ln 4 |
ln(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
11. |
Указать область абсолютной сходимости рядов: |
|
|
|
|
|
−n2 x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
cos nx |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||||||||||
а) ∑ |
|
, |
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
в) |
∑ |
e |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
n |
2 |
+sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
n |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
12.Представить в виде ряда функцию ∫sinx x dx .
13.Найти область сходимости рядов:
∞ |
2 |
|
∞ |
n n |
∞ |
x |
n |
∞ |
n |
|
|||
а) ∑n n |
+1 xn , |
б) ∑ |
3 x |
, |
в) ∑ |
|
|
, |
г) ∑ |
(x +1)n . |
|||
n |
|
+ |
|
2n +1 |
|||||||||
= |
3 |
n! |
= |
n2 |
n=1 n |
n |
= |
|
|||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
179 |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Написать ряд Маклорена для функций: а) y=(x-tg x)cos x, |
б) y = 3 8 − x2 . |
|||
15. |
Найти решение дифференциального уравнения в виде ряда. |
||||
а) y"+2x2y'-y=0, y(0)=y'(0)=1, |
б) y'=1+x-y2 , |
y(0)=1. |
|
||
16. Разложить в ряд Фурье функцию |
|
|
|||
f (x) = 10 |
,при−10 ≤ x ≤ 0 |
,на интервале |
[-10, 10], взяв |
его длину за |
|
|
x −10 |
0 < x ≤10 |
|
|
|
период.
17.Разложить в ряд Фурье f(x)=3x-x2 по синусам, считая π полупериодом.
18.Вычислить: а) ∫∫(x − y)dxdy, где D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2,
|
|
|
D |
|
|
|
|
D : x = y2 . |
б) ∫∫xdxdy , где D :1 ≤ x2 + y2 ≤ 2, |
|
|
в) ∫∫xdxdy, где |
|||||
|
D |
|
|
|
|
D |
|
x = y |
19. |
Изобразить область интегрирования и вычислить: |
|
||||||
|
a |
x |
2 |
2 y |
x |
|
|
|
|
а) ∫dx ∫ dy , |
б) ∫dy ∫ |
dx . |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
y |
y |
|
|
|
|
1 |
y+2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
20. |
Изменить порядок интегрирования: |
|
|
∫dy |
∫ f (x, y)dx . |
|||
|
|
|
|
|
0 |
y |
|
|
21. |
Вычислить ∫∫∫xdxdydz , где |
|
|
|
|
|
||
|
|
V |
≥ 0; x + y + z ≤1; |
|
|
|
|
|
а) V : x ≥ 0, y ≥ 0, z |
|
|
|
|
|
|||
б) V : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; x2 + y2 + z2 ≤1; в) V : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; x2 + y2 ≤1, z ≤ 2.
22. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
а) x2+y2=2z, x2+y2=1, z=0; б) x=y2, y=x2, z=12-x2-y2.
23. Вычислить криволинейные интегралы:
а) ∫xydx + x2dy, где L – контур прямоугольника, образованного прямыми
L
x=0, x=4, y=0, y=2;
б) ∫ |
dl |
, |
где L - отрезок прямой между точками A(0;-2) и B(2,0). |
|
x − y |
||||
L |
|
|
||
|
|
|
24.С помощью криволинейного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной контуром L : x = cos 3 t, y = sin 3 t,0 ≤ t ≤ 2π .
25.Доказать, что выражение: (15x2 +8xy2 −2y)dx +(8x2 y2 −2x −3y2 )dy
является полным дифференциалом некоторой функции, найти ее.
180