- •Математика, Ч. 1
- •1. Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа
- •2.2. Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины «Математика, часть 1»
- •2.4. Временной график изучения дисциплины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно - рейтинговая система оценки знаний
- •3. Информационные ресурсы дисциплины
- •3.1. Библиографический список
- •3.2. Опорный конспект лекций по дисциплине
- •Введение
- •Раздел 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Раздел 5. Числовые и функциональные ряды
- •Раздел 6. Двойные и криволинейные интегралы
- •Заключение
- •3.3. Глоссарий
- •4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.2. Задания на контрольные работы № 5 и №6
- •4.4. Блок итогового контроля
- •Содержание
4.2. Задания на контрольные работы № 5 и №6
Номера задач выбираются по таблице в соответствии с первой буквой фамилии и последними двумя цифрами шифра. Например, студент Иванов, шифр 1-45-5825, решает в контрольной работе 5 задачи 5, 15, 22,31, в контрольной работе 6 - задачи 45, 52, 62, 71.
Последняя |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
||
цифра шифра |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Номер контрольной работы |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Предпоследняя |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|||
цифра шифра |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Номер контрольной работы |
|
5 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
||
|
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
|||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первая буква |
А,И |
Б,О |
В,Н |
Г,Ф |
Д,З |
Е,М |
Ж,С |
К |
П |
У,Ш |
|||
фамилии |
|
Т |
Ц |
Х |
Я |
Л |
Р |
Ч |
Э |
Щ |
Ю |
||
Номер контрольной работы |
|
5 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
161
Контрольная работа №5
В задачах 1-10 решить дифференциальное уравнение первого порядка.
1. |
|
y2 +1dx = xydy, |
2. |
y′ ctgx + y = 2, |
||||||||||
3. |
y′− y2 x = 2xy, |
4. |
(y + |
xy )dx = xdy, |
||||||||||
5. |
y |
2 |
+ x |
2 |
y |
′ |
′ |
6. |
xy |
′ |
= y − xe |
y / x |
, |
|
|
|
|
= xyy , |
|
|
|||||||||
7. |
(xy′−1) ln x = 2 y, |
8. |
y = x (y′− x cos x), |
|||||||||||
9. |
(xy +ex )dx − xdy = 0, |
10. |
(2x +1)y ' = 2 y + 4. |
В задачах 11-20 решить дифференциальное уравнение методом
понижения порядка. |
|
|
|
11. |
x2 y '' = (y ')2 , |
12. |
2yy '' =1 +(y ')2 , |
13. |
2xy ' y '' = (y ')2 −1, |
14. |
2yy ' = (y ')2 , |
15. |
yy ''' = y ''− xy '', |
16. |
y3 y '' =1, |
17. |
y ''' = 2 (y ''−1) ctgx, |
18. |
xy ''− y ' = x2 , |
19.y '''−1 = 2 cos 2x −7x, 20. y ''(ey +1)+(y ')2 ey = 0.
Взадачах 21-30 найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка.
21. y ''+ y '−2 y = 3xex , |
22. |
y ''−3y '+ 2 y = cos x, |
23. y ''+ y = 4 cos x, |
24. |
y ''+3y '−4 y = e−4 x , |
25. y ''−5 y ' =15x2 , |
26. |
y ''−4 y '+8y = sin 2x, |
27. y ''−9 y = e3x cos x, |
28. |
y ''−2 y '+ y = 6xex , |
29. y ''+ y = x sin x, |
30. y ''+ 4 y '+ 4 y = 2xe2 x . |
В задачах 31-40 найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости.
|
∞ |
2 |
2n−1 |
(x +1) |
2n−1 |
|
|
|
∞ |
( |
n +1 |
5 |
( |
x +1 |
2n |
|
|||||
31. |
∑ |
|
|
, |
32. |
∑ |
|
) |
|
|
|
) |
, |
||||||||
|
(4n |
+3) |
2 |
|
|
2n +1 |
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
33. |
∑(−1)n−1 |
(2n +1)2 (x +2)n , |
34. ∑ |
(x −7) |
2n−1 |
|
|
|
, |
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
(2n −1)(2n −1)! |
|
|
|
162
35. |
|
|
|
|
|
2n−1 |
, |
|
36. ∑(x +6)n−1 (n + 2)!, |
|||||||||
∑(x +5)n |
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2n 4 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
(3n −2)(x +3)n |
∞ |
|
|
n |
|
(x −3)n |
||||||||||
37. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
, |
38. ∑(−1) |
|
|
|
|
, |
||
(n |
|
|
1) |
2 |
|
( |
) |
|
||||||||||
|
n=1 |
+ |
|
n+1 |
n=1 |
|
|
n +1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
||||||||
|
∞ |
n |
|
|
|
2 |
n |
|
∞ |
( |
x +5 |
n |
|
|
|
|||
39. |
∑ |
|
x |
|
|
, |
40. ∑ |
|
n) |
|
. |
|
|
|||||
n +1 |
|
|
|
n! 5 |
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
2 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа №6
В задачах 41-50 разложить функцию в ряд Маклорена, определить область сходимости ряда
41.a) f (x)= ln (1 − x2 ),
42.а) f (x)= ex−1,
43.а) f (x)= x sin2 2x,
44.а) f (x)= 2x sin (5x2 ),
45.а) f (x)= ln (4 + x2 ),
46.а) f (x)= e3x −2e−x ,
47.а) f (x)= x3 e3x−1,
48.а) f (x)= xe−x2 ,
49.a) f (x)= ln (2x +3),
50.а) f (x)=1+sin 4x,
б) f (x)= 1+1x4 ,
б) |
f (x)= |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
1 |
+8x3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
f (x)= |
|
|
4x |
|
|
|
|
, |
|
||
3 |
−2x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
f (x)= |
|
3x |
, |
|
|
|
|
|
|||
|
x +5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
f (x)= |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
, |
|
||
|
2x + |
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
f (x)= |
|
8x3 |
|
, |
|
|
|
|
|||
|
2 + x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
f (x)= |
|
|
4 |
|
|
|
|
, |
|
||
|
2x + |
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
f (x)= |
|
|
x2 |
|
|
|
. |
||||
3 |
−27x2 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
б) f (x)= |
|
|
x |
|
|
|
, |
|
||||
9 |
+ x2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
f (x)= |
|
9 − x2 |
. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 − x2 |
|
|
|
|
163
В задачах 51-60 построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования
51. |
∫4 dx |
7∫−x |
f (x, y)dy, |
52. |
∫6 |
dx x∫−1 |
f (x, y)dy, |
|||
|
0 |
1 |
x+1 |
|
|
0 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||
|
2 |
4−x2 |
|
|
1 |
|
x2 |
|
||
53. |
∫dx |
|
∫ |
f (x, y)dy, |
54. |
∫dx |
∫ f (x, y)dy, |
|||
|
0 |
4−2 x2 |
|
0 |
|
x4 |
|
|||
|
1 |
3−2 x |
f (x, y)dy, |
|
2 |
|
(x−1)2 |
f (x, y)dy, |
||
55. |
∫dx |
|
∫ |
56. |
∫dx |
∫ |
||||
|
0 |
|
x |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
2 |
x+2 |
|
|
1 |
|
ex |
|
||
57. |
∫dx ∫ |
f (x, y)dy, |
58. |
∫dx |
∫ f (x, y)dy, |
|||||
|
−1 |
x2 |
|
|
0 |
|
e−x |
|
||
|
2 |
2 x |
(x, y)dy, |
|
1 |
|
2−x2 |
f (x, y)dy. |
||
59. |
∫dx |
∫ f |
60. |
∫dx |
∫ |
|||||
|
0 |
x |
|
|
0 |
|
x |
|
61.Вычислить площадь части поверхности цилиндра z2 = 4x , лежащей в I октанте, вырезанной цилиндром y2 = 4x и плоскостью x =1.
62.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y2 = x +1 и
x+ y =1.
63. Вычислить площадь части конической поверхности |
z = x2 + y2 , |
вырезанной плоскостями x = 0, y = 0, x + y =1, x + y = 2 |
и лежащей в I |
октанте. |
|
64.Найти объем цилиндрического тела, расположенного в I октанте, ограниченного снизу плоскостью Oxy , сверху – цилиндром z = x2 , сбоку – вертикальными плоскостями x + y = 5 , x −2 y = 2 , y = 0.
65.Найти объем цилиндрического тела, расположенного в I октанте, ограниченного снизу плоскостью Oxy , сверху – эллиптическим параболоидом
z = x2 + y2 , сбоку – вертикальными плоскостями x + y =1, x = 0, y = 0.
66.Найти объем цилиндрического тела, расположенного в I октанте, которое снизу ограничено плоскостью z = 0 , сверху – цилиндром 8z = y2 , сбоку – вертикальными плоскостями x + y = 2 , x = 0, y = 0.
67.Найти объем цилиндрического тела, расположенного в I октанте, которое ограничено снизу плоскостью z = 0 , сверху – плоскостью x + z = 6 ,
сбоку – поверхностями y = x и y = 2 x .
68. Найти объем тела, ограниченного снизу плоскостью z = 0 , сверху –
164
цилиндрической |
поверхностью |
z = 4 − x2 , |
сбоку |
– |
|
вертикальными |
|||||||||||||||
плоскостями y = ±x |
(x ≥ 0). |
|
|
|
ρ(x, y), |
|
|
|
|
||||||||||||
|
69. Найти массу пластины с плотностью |
ограниченную |
|||||||||||||||||||
линиями: x = y , x −3y =1, |
y =1, y = 3, если ρ(x, y)= y . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
70. Найти массу пластины, |
заданной неравенствами |
y ≥ x2 , |
y − x ≤ 2, |
|||||||||||||||||
y + x ≥ 2, если ее плотность ρ(x, y)= x + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
В задачах 71-80 вычислить криволинейные интегралы по кривой L : |
|
|||||||||||||||||||
71. |
∫ |
(x2 + y)dl, где L - отрезок AB , где A(0;1) и B(−2;3). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72. |
∫(x + y)dl, |
где кривая |
L задана параметрически |
x = cos t, |
y = sin t, |
||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73. |
∫xydl, |
|
где |
кривая |
L есть |
часть окружности |
x2 + y2 =1, |
лежащая |
в |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первой четверти. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
74. |
∫ydl, где кривая |
L |
есть дуга параболы |
|
y2 = 2x |
от точки |
A(2; 2) |
до |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки B(8; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
75. |
∫ |
|
dl |
|
|
, |
где кривая |
L |
задана параметрически |
x = cos t +t sin t, |
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
L |
x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = sin t −t cos t, 0 ≤ t ≤ 2π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
76. |
∫(2 − y)dx + xdy, |
где |
кривая L задана |
параметрически |
x = t −sin t, |
||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1−cos t, 0 ≤ t ≤ 2π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
77. |
∫ |
ydx + xdy |
, где L - отрезок |
AB , где A(0;0) и B(1;1). |
|
|
|
|
|||||||||||||
1 + x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
78. |
∫ydx −(y + x2 )dy, |
где |
кривая L есть |
дуга параболы |
y = 2x − x2 |
от |
|||||||||||||||
|
L |
A(2;0) до точки B(0;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
79. |
∫2xydx + x2dy, где L - отрезок AB , где |
A(0;0) и B(1;3). |
|
|
|
||||||||||||||||
80. |
∫L (−x2 + xy)dx − xydy, |
где |
L есть дуга |
кривой |
x2 + y2 =1 |
от точки |
L
A(0;1) до точки B(1;0).
165
4.3. Блок тестов текущего контроля Тренировочные тесты
Тест №1
1.Укажите, которые из написанных уравнений являются уравнениями первого порядка?
а) (y ')3 + 3y2 x + y ' x4 + 5 = 0 ; |
б) y '+ xy + 2 y " = 0 ; |
|||||||
в) (y + |
xy )dx = xdy ; |
г) xy "+ y ' =1 + x . |
|
|||||
1) только а; |
2) только б; 3) только в; |
4) только а и в; 5) а, б и г. |
||||||
2. Которая |
из функций: а) |
y = cos 3x ; |
б) |
y = sin 3x |
является решением |
|||
дифференциального уравнения y "+ 9 y = 0 . |
|
|
||||||
1) только а; |
|
|
2) только б; |
3) и а, и б; |
4) ни а, ни б. |
|||
3. Из приведенных выражений выбрать общее решение дифференциального |
||||||||
уравнения |
y '− |
3y |
= x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1) y = 3x3 − x2 ; |
2) y = Cx3 − x2 ; |
|
|
|||||
3) y = 3x3 −Cx2 ; |
4) y = 3x2 +C (1 − x2 ). |
|
4. Через начало координат проходит кривая, в каждой точке которой угловой коэффициент касательной равен утроенной абсциссе точки касания. Каково
ее уравнение? |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1) y = 3x ; |
2) y = 3x2 ; |
3) |
y = |
x2 |
; |
4) y2 = 3x . |
||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5. Которая из функций является решением задачи Коши для уравнения y ' = 3y2
при начальных условиях y(1) = 12 :
1) y = 5 + 3x ; |
2) |
y = |
|
1 |
; |
3) y = − |
1 |
; |
4) y = |
2 |
|
5 |
−3x |
3x +5 |
3x +1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
.
Тест №2
1.Является ли дифференциальное уравнение первого порядка
x+ xy + y′(y + xy)= 0
1)уравнением с разделяющимися переменными;
2)однородным;
3)линейным относительно неизвестной функции y(x) ;
4)линейным относительно неизвестной функции x( y) .
2.Имеются ли среди уравнений:
а) (y + xy )dx = xdy; |
б) xy′ = y − xey x ; |
в) x2 + y2 = 2xyy′ |
однородные дифференциальные уравнения первого порядка?
166
1) |
однородное только в); |
|
|
|
|
|
2) однородные только а) и в); |
|
|||||||||||||
3) |
все однородные ; |
|
|
|
|
|
|
|
4) не имеются. |
|
|
|
|
|
|||||||
3. Частное решение дифференциального уравнения (x2 +1)y′ = 2x(4 − y) при |
|||||||||||||||||||||
y(0) =1 имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
y = 4 − |
3 |
|
; |
2) |
y |
= |
4x2 |
−3 |
; |
|
3) y = 4 + |
|
1 |
|
; |
4) y = |
4x2 |
|
. |
|
|
|
x2 |
+1 |
|
|
|
x2 +1 |
x2 +1 |
|||||||||||||
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. Которое из следующих выражений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
y = 2 + 2C cos x; |
|
|
|
б) |
y = 2 −C cos x; |
|
|
|
|
|
||||||||||
в) |
y = C sin x −3x; |
|
|
|
г) |
y = sin x +cos x +3x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= 2 ? |
|
|
|
|
|
|
|
является общим решением уравнения y ctgx + y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
а; |
2) б; |
|
3) в; |
|
|
|
4) г; |
|
5) Нет общих решений. |
|||||||||||
5. Функция |
|
f (x) |
|
удовлетворяет |
дифференциальному |
уравнению |
|||||||||||||||
(1+ x2 )f ′(x) =1 и, если |
f (0) =1, то чему равно |
|
f (1) ? |
|
|
|
|
||||||||||||||
1) |
π −1; |
|
|
|
2) |
π |
; |
|
|
3) π |
+1; |
4) 167 |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тест №3
1. Сколько произвольных постоянных должно быть в общем решении дифференциального уравнения
|
|
|
|
|
|
|
(y′′)2 − y′′′+ 2 y′ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
1) одна; |
|
|
2) две; |
3) три; |
|
4) четыре. |
|
|
||||||||
2. Укажите из предложенных дифференциальных уравнений: |
|
|
|
|
||||||||||||
а) xy |
′′ |
=1; |
б) y |
′′ |
= 2(y |
′ |
−1)ctgx; |
в) y |
′′ |
= |
′ |
г) x |
−1 |
y |
′′ |
= sin x |
|
|
|
|
2xy ; |
|
|
те, понизить порядок которых можно, применив непосредственное последовательное интегрирование.
1) а, б и в; 2) а и б; 3) а и г; 4) а, в и г. 3. Имеются ли среди дифференциальных уравнений: а) xy′′ = y′− xy′;
б) ( |
|
) |
2 |
|
|
|
в) |
|
|
|
( |
|
|
) |
2 |
|
г) |
|
|
|
|
( |
|
) |
2 |
|
y |
′ |
+ 2 yy |
′′ |
= 0; |
|
′ |
′′ |
= |
|
y |
′ |
+1 |
+1; |
|
yy |
′′ |
+1 |
= |
|
y |
′ |
|||
|
|
|
|
|
2xy y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения, для понижения порядка которых следует применить подстановку
y′ = z(x) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) а и б; |
2) а и в; |
|
|
3) только а; |
|
4) а, б и г. |
|
|||||||||
4. Укажите, для каких дифференциальных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) y |
′′ |
cos 2x = tgx; |
′ |
2 |
+ 2 yy |
′′ |
= 0; |
в) 1+ y |
′ |
′′ |
г) e |
2 x |
y |
′′ |
= xy |
′ |
|
б) (y ) |
|
|
|
= yy ; |
|
|
|
||||||||
целесообразнее всего применить замену переменных y′ = p( y) ? |
|
|
|
|
||||||||||||
1) а, б и г; |
2) б, в; |
|
|
|
3) б, г; |
|
|
4) а, г. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
167 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найдите частное |
решение дифференциального |
уравнения |
( |
x +1 |
2 |
y |
′′ |
=1 |
, |
|||||||||||||||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
удовлетворяющее начальным значениям y(0) = 0, |
′ |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
y = 2x −ln(x +1) ; |
2) y = |
2x |
; |
3) |
y = − |
x |
|
+2x ; |
4) |
y = |
|
1 |
|
− |
|
1 |
x . |
|
|||||
|
x +1 |
x +1 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Тест №4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Имеются ли среди систем функций линейно независимые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) ex , e2 x ; |
б) e2 x , 2e2 x ; |
в) ex , e−x ; |
г) |
x, 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) |
все а, б, в, г; |
2) только а и б; |
3) |
только а и в; |
4) |
только г. |
|
|
2.Укажите фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка y′′+ y′ = 0.
1) ex , e−x ; |
2) 1, ex ; |
3) 1, e−x ; |
4) cos x, sin x. |
3.Известно, что функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) являются решениями уравнений y ''+5y '−4 y = 0 и y ''+5xy '−4x2 y = 0 . Для которого из них функция
ϕ(x) = 2ϕ1 (x) −5ϕ2 (x) также является решением: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
только для первого; |
2) только для второго; |
|
|
|
|
||||
3) |
и для первого и для второго; 4) ни для первого ни для второго. |
|||||||||
4. Значение |
определителя |
Вронского W = |
|
y1 |
y2 |
' |
|
для функций |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y ' |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y1 = cos x; y2 |
= sin x равно: |
3)cos2x; |
|
|
|
|
|
|
4) sin2x. |
|
1) 1; |
2) -1; |
|
|
|
|
|
|
5. При каком значении b функция y(x) = 2x2 +b является решением уравнения y ''+3xy '−2 y =8x2 ?
1) b=2; 2) b=0; 3) b=3; 4) b=2x.
Тест №5
1.Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка y′′+ 4 y′−5 y = 0.
1) |
y = C1ex +C2e−5x ; |
2) |
y = ex (C1 sin 5x +C2 cos 5x); |
3) |
y = e5x (C1 cos x +C2 sin x); |
4) |
y = C1e−x +C2e5x . |
2. Укажите линейное однородное дифференциальное уравнение, для которого
функция y = e3x (C1 cos 2x +C2 sin 2x) |
была бы общим решением. |
|||
1) |
y′′−6 y′+5 y = 0; |
2) |
y′′−6 y′+13y = 0; |
|
3) |
y′′−5 y′+6 y = 0; |
4) |
y′′−4 y′+9 y = 0. |
|
3. Найдите методом |
неопределенных |
коэффициентов частное решение y |
||
|
|
|
168 |
|
неоднородного линейного дифференциального уравнения |
y′′+ 4 y′ = f (x) , |
|||||||||||||
соответствующее правой части |
f (x) = 4x +5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) y = −2x +3; |
2) y = 2x |
2 |
+ |
1 |
x; |
3) y = |
1 |
x |
2 |
+ x; |
4) |
y = |
1 |
x +1. |
|
4 |
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Укажите линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами , для которого числа λ1 = 3 и
λ2 |
= −2 являются корнями характеристического уравнения: |
|
1) |
y′′− y′−6 y = 0; |
2) y′′+ y′−6 y = 0; |
3) |
y′′+ y′+5 y = 0; |
4) y′′+5 y′− y = 0. |
5. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения
y′′+9 y = 2 sin x равно: |
|
|
|
|
1 |
|
|||
1) y =C e3x |
+C e−3x +2sin x−2cos x; |
2) |
y = C e−9 x |
+ xC e−9 x + |
sin x; |
||||
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
10 |
|
||
|
|
1 sin x; |
|
|
|
|
|||
3) y = C1 sin 3x +C2 cos 3x − |
4) |
y =C1 sin3x +C2 cos3x − |
1 |
(sin x +cos x). |
|||||
|
|||||||||
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
Тест №6
1.Характеристическим уравнением линейной однородной системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
dy |
= 3y +3z, |
|||
|
|
|||
является |
||||
dx |
||||
|
dz |
|
= 4 y +2z |
|
|
|
|
||
dx |
|
|
1) |
|
3 −λ 3 |
|
=0, |
2) |
|
3+λ |
3 |
|
=0, |
|
3) |
|
3−λ |
4 |
|
=0, |
|
4) |
|
|
3+λ 4 |
|
=0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
2 −λ |
|
|
|
4 2+λ |
|
|
|
|
|
2 3−λ |
|
|
|
|
|
|
|
3 2 +λ |
|
|
|||||||||
2. |
Какой из наборов функций: а) y1 = ex , z1 = ex ; б) |
y2 = 2e−2 x , |
z2 = −e−2 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= −y +2z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
является частным решением системы dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) только а; |
|
|
2) только б; |
|
dx |
3) и а и б; |
|
|
|
|
|
|
4) ни а, ни б. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3y + z, |
|
|||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти общее решение линейной однородной системы dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
= 2 y +2z. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= C1e |
4 x |
, |
|
|
|
|
|
= C1e |
4 x |
+ C2e |
x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1) |
y |
|
|
2) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= C |
ex. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
z = C e4 x − 2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
x |
, |
3) |
y = 2C1e |
|
+ C2e |
|||
|
|
|
|
ex. |
||
|
z = C e4 x − 2C |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
y = C1ex −C2e4 x ,
4) z = 2C2ex.
4. К какому дифференциальному уравнению второго порядка сводится система
|
dy = y −4z |
|
|
|
dx |
при использовании метода исключения: |
|
|
|||
dz |
= −3y +2z |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1) y′′−2 y′−10 y = 0; 2) y′′−3y′−10 y = 0; 3) y′′− y′+12 y = 0; 4) y′′−10 y′+3y = 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = 5 y −3z |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Если система дифференциальных уравнений |
dx |
|
|
имеет общее |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= −2 y +4z |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = C e7 x |
+C |
e2 x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
e2 x , , то частным решением, удовлетворяющим |
|
|
|||||||||||||||
решение z = − |
2 C e7 x |
+C |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начальным условиям |
y(0) = 0; |
z(0) = 5 |
|
будет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
7 x |
+5e |
2 x |
, |
|
|
|
|
7 x |
, |
|
|
|
|
7 x |
−5e |
2 x |
, |
|
|
5e |
2 x |
, |
|
1) |
y = −3e |
|
|
|
2) |
y = −3e |
|
3) |
y = 3e |
|
|
4) |
y = |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2e7 x +5e2 x , |
|
|
|
, |
||||||||||
|
z = 2e7 x +5e2 x , |
|
|
|
z = 5e2 x , |
|
|
z |
|
z = 2e7 x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тест №7
1.Основной задачей вариационного исчисления является
1)отыскание экстремальных значений функционалов;
2)определение вариаций функции;
3)нахождение сильной и слабой окрестностей функции;
4)решение уравнения Эйлера.
2.Уравнение Эйлера представляет собой
1)линейное алгебраическоеуравнение;
2)дифференциальное уравнение в частных производных;
3)обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;
4)обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
3.Управление называется допустимым на отрезке, если управляющий вектор
1)принимает значение только из области управления ,
2)является кусочно-непрерывным;
3)удовлетворяет одновременно условиям 1) и 2);
4)не имеет ограничений.
4. Выражение H = p1 f1 + p2 f2 +... + pn fn = pT f , называется
1)фазовым пространством ;
2)присоединенной вектор-функцией;
3)вектором управления;
170
4)функцией Гамильтона .
5.Принцип максимума Понтрягина применим
1)только к замкнутому множеству ;
2)только к закрытому множеству ;
3)к любому множеству ;
4)только к множеству достижимости .
Тест №8
1. С помощью первого признака сравнения выяснить сходимость ряда
∞ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
∑ |
|
=1 + |
|
+ |
|
|
+... + |
|
|
+..., |
|
3 n |
3 2 |
3 |
3 |
3 |
n |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
сравнив этот ряд с гармоническим рядом.
1)ряд сходится по первому признаку сравнения;
2)ряд расходится по первому признаку сравнения;
3)для сравнения следует взять другой ряд;
4)следует применить другой признак сравнения.
2. С помощью второго признака сравнения рядов исследовать на сходимость
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
ряд |
∑ ln |
1 |
+ |
, сравнив этот ряд с гармоническим рядом. |
|||
|
|||||||
|
n =1 |
|
|
|
n |
1)ряд сходится по второму признаку сравнения;
2)ряд расходится по второму признаку сравнения;
3)для сравнения следует взять другой ряд;
4)следует применить другой признак сравнения.
3. |
С |
|
|
помощью |
|
необходимого |
признака выяснить сходимость ряда |
|||||||||||||||||||
|
|
∞ |
3n +1 |
|
|
|
4 |
|
|
7 |
|
10 |
|
|
|
|
3n +1 |
|
||||||||
|
|
∑ |
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+... + |
|
|
+... . |
||||||||
|
5n −2 |
3 |
8 |
13 |
5n −2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) ряд сходится; |
|
|
|
|
2) ничего сказать нельзя; |
|||||||||||||||||||||
3) ряд расходится; 4) следует использовать другой признак сходимости. |
||||||||||||||||||||||||||
4. Применяя интегральный признак Коши, исследовать сходимость ряда |
||||||||||||||||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
∑ |
|
|
|
|
=1+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+... + |
|
|
|
+... . |
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
n |
3 |
|
|
|||||||||||
n=1 n |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)ряд сходится;
2)ряд расходится;
3)ничего сказать нельзя;
4)следует использовать другой признак сходимости.
|
∞ |
1 |
|
|
5. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда ∑ |
. |
|||
|
||||
|
n=1 n(n +1) |
|
||
1) |
согласно признаку Даламбера ряд сходится; |
|
|
|
2) |
согласно признаку Даламбера ряд расходится; |
|
|
|
3) |
ничего сказать нельзя; |
|
|
|
4) |
следует использовать другой признак сходимости. |
|
|
|
|
171 |
|
|
Тест №9
1. Используя теорему Вейерштрасса, выяснить вопрос о равномерной сходимости функционального ряда
1 +sin x |
+ |
1 +sin(2x) |
+... + |
1 +sin(nx) |
+... |
|||
|
3 |
|
32 |
|
3n |
|||
|
|
|
|
|||||
1) ряд равномерно сходится при всех x; |
2) ряд расходится при всех x; |
3)ряд равномерно сходится только при x (−π,π) ;
4)ряд расходится при x (−π,π) ;
2. Исследовать область сходимости степенного ряда
∞ |
(x +1) |
2n−1 |
|
1 |
|
(x +1) |
3 |
|
(x +1) |
5 |
|
(x +1) |
2n−1 |
|
∑ |
|
= |
(x +1) |
+ |
|
+ |
|
+... + |
|
+... |
||||
(2n −1) 22n−1 |
1 21 |
3 23 |
|
5 25 |
|
(2n −1) 22n−1 |
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
1)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале [-5,3];
2)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале (-5,3);
3)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале (-3,1);
4)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале [-3,1].
3. Найти область сходимости и радиус сходимости степенного ряда ∑∞ (x +3)n .
n=1 n3
1)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале [-4,-2], радиус сходимости равен R =1;
2)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале (-4,-2), радиус сходимости равен R =1;
3)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале (-1,1), радиус сходимости равен R =1.
4)ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале [1,1], радиус сходимости равен R =1
4. |
Написать разложение в ряд Тейлора функции |
f (x) = |
5 |
|
в окрестности |
||||||||||||||||
x2 |
|||||||||||||||||||||
|
точки x = −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
||||
1) |
f (x) =5 ∑ (n+1)(x +1)n ; 2) |
f (x)=5 ∑ (n+1)!(x−1)n; |
3) |
f (x) =5 |
∑ |
(n+1) |
(x+1) |
. |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
n =0 |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
n! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. Разложить в ряд Маклорена функцию |
f (x) = xex2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
2n +1 |
∞ |
n2 |
+1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
x |
2 |
|
|
|
||||
1) |
f (x) = ∑ |
x |
|
, -∞<x<∞; |
2) f (x) = ∑ |
x |
|
|
, |x|<1; 3) |
f (x) = |
|
∑ |
|
|
|
, |x|<1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n = 0 |
n! |
n =0 |
n! |
|
|
|
|
n = 0 n! |
|
|
172
Тест №10
1. Определите, чему |
равен |
∫∫dxdy , |
не вычисляя его, |
если |
D - |
область, |
|||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
ограниченная координатными осями и прямой x + y = 4 . |
|
|
|
|
|||||
|
1) 4; |
2) 8; |
3) 16; |
4) 0. |
|
|
|
|
|
2. Выберите повторный интеграл, к |
которому |
сведется |
двойной |
интеграл |
|||||
∫∫ f (x, y)dxdy |
по области D , |
y = x2 |
y |
|
|
|
|
||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заштрихованной на рисунке. |
|
|
|
|
|
x = 2 |
|||
2 |
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) ∫dy ∫ f (x, y)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
− 4−y |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
x2 |
|
|
|
O |
|
|
|
x |
2) ∫ dx ∫ f (x, y)dy; |
|
y = 4 − x2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
−2 |
4−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4−y |
2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
3) ∫dy ∫ f (x, y)dx ; 4) ∫ dx ∫ f (x, y)dy . |
|
|
|
|
|
||||
0 |
y |
2 |
4−x2 |
|
|
|
|
|
|
3. Выберите повторный интеграл, к |
которому |
сведется |
двойной |
интеграл |
|||||
∫∫ f (x, y)dxdy |
при переходе к |
полярным |
координатам. |
Область D |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заштрихована на рисунке. |
|
|
π |
1 |
|
|
|
|
|
1) |
∫2 dϕ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr ; |
||
|
0 |
0 |
|
|
π |
1 |
|
|
|
|
|
2) |
∫2 dϕ∫ f |
(r cos ϕ, r sin ϕ)dr ; |
|
|
0 |
0 |
|
|
π |
2sin ϕ |
|
|
|
||
3) |
∫2 dϕ ∫ |
f (r cos ϕ, r sin ϕ)dr ; |
|
|
0 |
0 |
|
y
x2 + y2 = 2 y
O x
π |
2sin ϕ |
|
|
4) ∫2 dϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr . |
0 0
4. Вычислите |
∫∫y2dxdy , |
где D - |
область, ограниченная осями координат, |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
прямой x =1 |
и кривой y = ex . |
|
|
|
|
||
e3 −1 |
|
e3 |
|
e3 −1 |
|
4) e3 . |
|
1) |
9 |
; |
2) 3 ; |
3) |
3 |
; |
|
|
|
|
|
173 |
|
|
|
4dxdy
5. Переходя к полярным координатам, вычислите ∫∫( 2 2 )2 , где область
D x + y
D задается неравенствами: x2 + y2 ≤1, |
x + y ≥1. |
|||
|
π |
|
|
|
1) 0; |
2) 2 |
; |
3) 2; |
4) 4. |
Тест №11
1.Найдите дифференциал dl длины дуги кривой y = 2e−x 2 .
1) 2e |
−x |
2 dx ; |
2) −e |
−x |
2 dx ; |
3) 1+e−x dx ; 4) 1−e−x dx . |
|
|
2.Найдите дифференциал длины дуги кривой x = 3 cos t, y = 2 sin t .
1) |
|
|
4 +5sin2 tdt ; |
|
|
|
|
2) |
|
6 sin t cos tdt ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
6sin t cos tdt ; |
|
|
|
|
|
|
4) (2 cos t −3sin t )dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
|
|
Найдите массу дуги материальной кривой y = 2 |
x −1 |
между точками |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
A(0; −1) и B(4;3) , если плотность вещества |
μ = (2 |
x − y)/ |
1 + 1 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1) 4; |
|
2) 1; |
|
|
|
|
|
3) 2 |
2 ; |
|
|
|
|
2 |
2 + 4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
3 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
|
|
Вычислите |
интеграл |
∫ |
|
dl , |
где |
L |
- |
дуга |
кривой |
||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
2 ) до точки B (2;0). |
|
|||||||
|
|
|
x = 2 cos t, y = 2 sin t |
|
от точки A( |
2; |
|
|||||||||||||||||||
1) |
|
1 |
; |
2) π |
+ 2 ; |
|
|
|
|
|
3) 2 |
2 ; |
|
|
|
|
4) 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
5. |
|
|
Вычислите интеграл |
∫ |
x2 + y2 dl , где |
L - дуга кривой |
y = |
|
от точки |
|||||||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A(1;1) |
до точки B |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
2 82 ; |
|
2) 2 |
2 |
; |
|
|
|
|
|
3) 5 |
|
1 |
; |
|
4) 9 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174
Тест №12
1. |
Вычислите |
интеграл |
∫(y −3)dx + xdy , где |
L - отрезок прямой |
||
|
|
|
L |
|
|
|
|
y = 2x +3 от точки A(0;3) до точки B(−1;1) . |
|
||||
|
|
1) -2; |
2) 2; |
3) 3; |
4)-6. |
|
2. |
Вычислите интеграл ∫(x +2 y)dx −2xdy , где L - дуга верхней половины |
|||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
эллипса (y ≥ 0) x = 2 cos t, |
y = sin t |
от точки A(0;1) до точки B(2; 0) . |
|||
|
1) |
−2 − 2π; |
2) |
2 + 2π; |
3) 2; |
4)-2. |
3.Выберите двойной интеграл, к которому с помощью формулы Грина
сведется криволинейный интеграл ∫3xydx +(2x2 + 2 y2 )dy .
|
|
L |
|
1) ∫∫7xydxdy ; |
2) ∫∫xdxdy ; |
3) ∫∫ydxdy ; |
4) ∫∫7xdxdy . |
D |
D |
D |
D |
4. Проверьте справедливость |
утверждения: криволинейный интеграл |
∫(2xy +3y2 )dx +(x2 +6xy)dy не зависит от пути интегрирования. |
|
L |
|
1) утверждение справедливо; |
2) утверждение несправедливо. |
5.Найдите функцию U (x, y) , если dU (x, y) = cos ydx − x sin ydy .
|
1) |
x + x cos y +C ; |
2) |
2x cos y +C ; |
|
||||
|
3) |
x cos y +C ; |
|
4) sin y + x cos y +C . |
|
||||
|
|
|
Ответы на тренировочные тесты |
|
|
||||
|
|
|
|
№ вопроса |
|
|
|||
№ п/п |
№ темы |
|
|
|
|||||
|
(раздела) |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
5 |
|
1 |
|
1.1 |
4 |
3 |
|
2 |
|
3 |
2 |
2 |
|
1.2 |
1 |
3 |
|
1 |
|
2 |
3 |
3 |
|
2.1 |
3 |
3 |
|
2 |
|
2 |
1 |
4 |
|
2.2. |
3 |
3 |
|
3 |
|
1 |
1 |
5 |
|
2.3 |
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
3 |
6 |
|
3 |
1 |
3 |
|
2 |
|
2 |
1 |
7 |
|
4 |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
3 |
8 |
|
5.1 |
2 |
2 |
|
3 |
|
1 |
3 |
9 |
|
5.2 |
1 |
3 |
|
1 |
|
1 |
1 |
10 |
|
6.1 |
2 |
4 |
|
4 |
|
1 |
3 |
11 |
|
6.2 |
3 |
1 |
|
1 |
|
4 |
4 |
12 |
|
6.3 |
2 |
2 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
175 |
|
|
|
|
|