Первичные изм. преобразователи. Часть 1

уравнений, так как это было сделано для сегнетовой соли и дигидрофосфата аммония.

Если же предварительно выполнить условия, при которых частоты мод колебаний имеют кратные значения, и возбуждать пьезоэлемент электрическим импульсом, в спектре которого отсутствуют частоты, равные кратным частотам мод колебаний, то излученный импульс будет иметь длительность, равную одному периоду частоты основной моды колебаний.

Пьезоэлектрические преобразователи рассчитывают следующим образом: выбирают пьезоматериал, у которого отсутствуют упругие постоянные С16 и С26. Это условие будет обеспечивать несвязность мод колебаний. Рассчитывают значения сторон а и b пьезоэлементов, при которых возбуждаются моды колебаний с кратными значениями частот. Значение толщины пьезоэлемента выбирают не более 0,1 длины меньшей стороны, при этом толщинными модами колебаний практически можно пренебречь. Пьезоэлементы вырезают из монокристалла вдоль соответствующих осей упругой симметрии и на каждый из них наносят электроды. С целью формирования достаточно острой диаграммы направленности, пьезоэлементы располагают на линейной или круговой базах и устанавливают в металлический корпус, соединяя электроды с корпусом и коаксиальной клеммой.

Каждый пьезоэлемент в виде квадратной или прямоугольной пластины имеет свою мембрану и представляет собой унифицированный пьезоэлектрический модуль. Модуль снабжен своими держателями, позволяющими механически закреплять элементы на различных базах рис. 5.6.1,а и 5.6.1,б.

Описанные общие положения были использованы при разработке пьезоэлектрических преобразователей, излучающих упругие импульсы малой длительности.

190

где х = х (t 0) - смещение точки от положения равновесия;

g - коэффициент затухания;

W- собственная частота колеблющейся точки.

Вкачестве функции ¦(t0), представляющей правую часть дифференциального уравнения, примем функцию вида:

e-a(t-τ)-e-at

Геометрической интерпретацией является прямоугольный П-видеоимпульс,

где а - величина, характеризующая крутизну фронтов импульса; t - длительность импульса.

Прежде чем приступить к решению неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, а нас будет интересовать форма огибающей смещения, рассмотрим характер колебаний осциллятора при воздействии на него бесконечно короткого, но бесконечно высокого импульса единичной площади

где Р - величина силы; d (t - t 0) - время, в течение которого эта сила действовала.

Тогда уравнение движения примет вид:

В этом уравнении приняты обозначения: h - коэффициент сопротивления; k - коэффициент упругости; m - масса.

Учитывая, что Р = 1, можно найти уравнения для смещения системы под воздействием единичной импульсной функции Дирака:

192

Теперь пусть на систему действует любая сила, причем ее будем рассматривать как последовательность следующих друг за другом ударов, а смещение системы под воздействием этой силы будем представлять как сумму элементарных смещений в результате каждого отдельного удара.

В момент t0 на систему действует ударная сила, импульс которой равен

¦(t 0)d t 0 . Очевидно, после этого удара система получит движение.

Если допустить, что в момент t = t1, после которого сила начала действовать на систему, последняя находилась в состоянии

то движение системы можно записать в виде (используя принцип суперпозиции):

x(t) = x0 (t − t1 ) + ∫t (t0 ) x1 (t − t0 ) dt0

где х0 (t - t1) - собственные колебания, определяемые начальными условиями.

Если для системы, на которую действует сила ¦(t) справедливо уравнение

(5.7.2), тогда смещение системы под воздействием ¦(t) в самом общем случае будет иметь вид:

Рассмотрим смещение системы под воздействием силы. Зададимся

193

нулевыми начальными условиями, тогда смещение системы может быть найдено из выражения:

t

Приведенное решение справедливо для единичной массы и дает возможность подсчитать смещение любой точки колеблющейся системы.

Перепишем выражение для силы:

Тогда решение уравнения (5.7.2) в случае, когда его правая часть может быть представлена как (5.7.12), можно записать следующим образом, учитывая, что при экспериментальном исследовании характера колебаний осцилляторов может быть зафиксирована скорость смещения.

Ввиду того, что g достаточно мало, ею можно пренебречь при расчете огибающей смещения и скорости смещения в пределах нескольких периодов. Тогда для случая

194

Последнее выражение приведено для скорости смещения, когда t > τ. Проанализируем решение уравнений (5.7.13), (5.7.14), (5.7.15), причем нас

будет интересовать форма огибающей смещения и скорости смещения. При расчете воспользуемся численными значениями γ = 0,03 и а = 16.

Под собственной частотой будем подразумевать частоту первой моды колебаний как в случае моночастотной системы, так и в случае системы с частичным вырождением частот мод колебаний. На рис. 5.7.1 показаны огибающие смещения, скорости смещения, а также возбуждающий импульс, когда его длительность

τ = Т = 2π/Ω¦

На рис. 5.7.1 приведены аналогичные кривые, когда длительность возбуждающего импульса равна

τ = 2Т = 4π/Ω¦ и τ = 6π/Ω¦ =3Т.

Как видно из приведенных кривых, при воздействии на пьезодиск прямоугольным П-импульсом, он совершает колебательный процесс, причем длительность последнего существенно зависит от длительности возбуждающего импульса или спектра импульса возбуждения.

При длительности возбуждающего импульса, равной

τ = nТ,

где n = 1,2,3, . . .- огибающая смещения и скорости смещения представляют отрезки синусоид, равные соответственно одному, двум, трем и так далее периодам частоты первой моды колебаний.

Спектры упругих импульсов различной длительности приведены на рис. 5.7.2. Полученные результаты были использованы при разработке раздельносовмещенного пьезоэлектрического преобразователя продольных волн. Для возбуждения симметричной и антисимметричной волн Лэмба были

195

сконструированы и изготовлены пьезоэлектрические излучатели, содержащие призмы из оргстекла для наклонного ввода упругих колебаний. Причем, для возбуждения короткого импульса изгибной волны угол падения определялся из условия:

sin β = υo/υph,

Где: υ - скорость звука во внешней среде, υph – фазовая скорость изгибной волны. Аналогичным способом определялся угол ввода для Sо – моды.

196

Рис. 5.7.1. Характер изменения смещения и скорости смещения

при различных длительностях электрического П-импульса

197

Пьезоэлектрический преобразователь набран из прямоугольных пластин, стороны которых равны соответственно 4 и 2см, толщина пластин 0,2см. В этом случае первая, вторая и третья моды колебаний будут иметь частоты f1 = 39,7кГц, f2 = 79,4кГц, f3 = 100кГц.

При указанных размерах пьезопластина характеризуется частичным вырождением мод колебаний. Рассмотрим, как колеблется каждая пьезопластина при возбуждении ее электрическим импульсом П-формы. Будем изменять спектр импульса возбуждения путем изменения длительности П-импульса.

Аналитически амплитудно-частотная характеристика возбуждающего импульса может быть представлена как

А(nfτ)=τvm |sinα/α|,

(5.8.1)

где τ – длительность импульса; vm – амплитуда импульса;

α = πfτ.

При эксперименте следует придерживаться следующей методики. Изменять спектр импульса возбуждения не произвольно, а так, чтобы в нем последовательно отсутствовали частотные составляющие, равные резонансным частотам f1, f2, f3. Если в спектре импульса присутствуют частотные составляющие, равные f1, f2, f3, то пластина эффективно колеблется на трех своих резонансных частотах. На рис. 5.8.1,а слева показан спектр импульса возбуждения, а справа спектр частот колеблющейся пьезопластины.

199