Первичные изм. преобразователи. Часть 1

независимых переменных принимают механическую деформацию, электрическую индукцию и энтропию, а механические напряжения, напряженность электрического поля и температура являются зависимыми постоянными. Число зависимых постоянных можно сократить, если рассматривать адиабатические величины (когда предполагается, что в любом элементе объема отсутствуют процессы переноса тепла).

Под процессом переноса тепла понимают отдачу его во внешнюю среду по притоку из внешней среды.

Рассмотрим пьезоэлектрический кристалл как систему, обладающую упругими свойствами, и проанализируем, какими упругими константами можно охарактеризовать его. Как принято в динамической теории упругости, упругие константы могут быть определены при рассмотрении напряженного состояния тела в виде элементарного единичного объема. Упругие силы, действующие на элементарный объем, складываются из трех составляющих. Первая составляющая силы, действующей вдоль оси X, определяется нормальным напряжением, действующим на грани dydz с координатами x и

И наконец, третья составляющая, обусловленная сдвиговым напряжением на гранях, перпендикулярных оси Z:

Определив все силы, действующие вдоль положительного направления оси X, можно записать их сумму:

140

а также сумму составляющих всех упругих сил действующих вдоль положительных направлений осей Y и Z:

где δik - механические напряжения, которые действуют на элементарный объем и стремятся его деформировать; δxx, δyy, δzz - нормальные составляющие напряжений; δxy, δzx, δyz - касательные составляющие напряжений.

Матрица компонент механических напряжений имеет вид

δ x x δ x y δ x z δ y x δ y y δ y z δ z x δ z y δ z z

Существует закон парности касательных напряжений, согласно которому

Благодаря этому условию число компонент механических напряжений уменьшается с девяти до шести.

Помимо компонент напряжений, характеризующих напряженное состояние упругого тела, в теории упругости рассматриваются компоненты деформации, так как механические напряжения возникают в деформированном теле. Линейные деформации, так же как и поперечные, определяются на основании соотношений

141

неизменном состоянии x, y, z превращаются деформацией в х + U , у+ V , z + ω.

Компоненты вращения могут быть определены как

(4.4.10)

Для анизотропных упругих тел связь между деформациями и напряжениями при небольших смещениях описывается законом Гука:

Уравнения (4.4.11) можно записать в сжатой форме:

где Сij - модули упругости, которые выражают пропорциональность между компонентами деформаций εj и напряжений δi. Знак "минус" перед напряжением взят из условия, что положительная деформация вызывает отрицательное напряжение.

142

Если решить уравнение (4.4.11) по отношению деформаций εj, то закон Гука можно записать в виде

где Sij - постоянные гибкости.

В теории упругости закон Гука предполагается справедливым для всех типов деформаций.

Помимо упругих эффектов пьезоэлектрик характеризуется электрическим и пьезоэлектрическим эффектом. Рассмотрим, как это влияет на диэлектрические свойства пьезокристаллов. Пьезопластину поместим в однородное электрическое поле так, чтобы нормаль к пластине была параллельна полю Е0.Тогда

где D - электрическая индукция; Е – напряженность электрического поля; Р - поляризация. Связь между Е и Р может быть определена из уравнения

Уравнения для компонент электрического смещения могут быть записаны следующим образом:

Dx = K11Ex + K12Ey + K13Ez,

Dz = K31Ex + K32Ey + K33Ez.

где К - диэлектрические постоянные.

Связь между электрическими проницаемостями и диэлектрическими постоянными описываются уравнениями

143

где Khh и ηhh - прямые коэффициенты; Кhi, ηhi - поперечные коэффициенты. Энергетическое состояние пьезоэлектрических кристаллов может быть

определено заданием конечного числа его внутренних и внешних параметров. B качестве таких параметров используются восемнадцать скалярных величин, таких как: механические напряжения δi (шесть независимых компонент), электрическое поле Е (три компоненты), механическая деформация εj (шесть независимых компонент), электрическая индукция D (три компоненты). Число параметров, характеризующих энергетическое состояние кристалла, указано с учетом адиабатичности процесса. В качестве независимых параметров выбирают любые девять переменных. Из второго закона термодинамики следует, что при любой комбинации существует единственная функция выбранных переменных, такая, что остальные девять величин будут производными этой функции по независимым переменным.

Рассмотрим частный случай, когда в качестве независимых переменных выбираются εjР. Тогда функцией переменных будет величина внутренней энергии кристалла, дифференциал которой определяется соотношением

где ƒ i - обобщенная сила; hi - обобщенная координата. Правая часть уравнения (4.4.19) определяет элементарную работу, совершаемую над системой.

Рассмотрим работу, которую совершают над кристаллом механические и электрические силы. Пусть кристалл имеет форму элементарного куба единичного объема и испытывает небольшую однородную деформацию εj, а компонента деформации ε изменяется от εxx до dεxx, тогда как все остальные компоненты деформации и положение центра тяжести куба остаются без изменения. Каждая грань куба, перпендикулярная оси X сместится от центра на расстояние dεxx, при этом работа будет равна нормальной компоненте силы

144

Аналогичным образом могут быть записаны выражения для работы при нормальных деформациях вдоль осей Y и Z:

Теперь рассмотрим случай,когда единичный куб совершает деформацию сдвига таким образом, что грани, перпендикулярные оси Y, смещаются в противоположных направлениях параллельно оси Z. При этом деформация возросла от εyz до εyz + dεyz поскольку центры граней, перпендикулярные оси Y сместились на расстояние dεyz, то работа, совершаемая компонентой напряжения, может быть рассчитана из соотношения:

Аналогично выводятся выражения для других сдвиговых компонент:

Следовательно, элементарная работа, совершаемая механическими силами при произвольной деформации, рассчитывается из соотношения

Рассмотрим теперь работу, которую совершают внешние источники при изменении поляризации кристалла. Пусть в некоторый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора равна φ2 - φ2 = φ. Силы, необходимые для изменения заряда "+" на обкладке от e до e + de равны

Тогда de =Fdq; φ = Еl,

где F - площадь электродов; l - расстояние между ними ; q - поверхностный заряд. Отсюда выражение (4.4.25) перепишется в виде

145

Первое слагаемое в правой части (4.4.27 ) можно отбросить. Оно показывает изменение энергии конденсатора в случае, если бы он не был заполнен диэлектриком.

Подставляя (4.4.24), (4.4.27) в (4.4.19).получим выражение для дифференциала внутренней энергии кристалла :

Аналогичным образом могут быть получены потенциальные функции следующего типа при условии адиабатичности процесса:

упругий потенциал Гиббса, или упругая энтальпия

Свободная энергия в случае адиабатичности процесса равна внутреннй энергии: А = V.

Рассмотрим, как, используя термодинамические потенциалы, можно получить уравнения пьезоэффекта. Пусть деформация εj и напряженность электрического поля Еm независимы. В качестве зависимых параметров или функций выберем механическое напряжение δi и электрическую индукцию

Dп.

Полный дифференциал функции может быть записан в виде

Воспользуемся функцией Гиббса (4.4.30). Дифференциал этой функции запишем в виде

146

Уравнения (4.4.36) известны как уравнения прямого и обратного пьезоэффектов.

Другая система уравнений пьезоэффекта может быть получена, если в качестве независимых переменных выбрать механические напряжения δi и напряженность электрического поля Еm, а в качестве зависимых переменных или санкций - деформации εj и электрическую индукцию Dп. Тогда полный дифференциал функций будет иметь вид

Воспользуемся термодинамическим потенциалом (4.4.31) и запишем полный дифференциал из этого выражения

Отсюда условие взаимности будет

147

Аналогичным образом могут быть найдены системы других уравнений, приведенных в табл.4.2.

Для расчетов пьезоэлектрических систем можно воспользоваться соотношениями, связывающими между собой пьезоэлектрические упругие константы

m,n – 1,2,3; i,j = 1,2,3,4,5,6.

Упругие параметры зависят от пьезоэлектрического состояния, которое бывает свободным или зажатым. Свободное состояние присуще свободному телу, которое запасает механическую потенциальную энергию и обладает постоянным напряжением δ = const. Под зажатым понимают такое состояние, когда тело не может деформироваться.

Пусть напряжения и деформации направлены вдоль оси X, тогда из (4.4.36) можно записать

Если кристалл находится в свободном состоянии, то из определения можно положить Dx = 0, из второго уравнения системы (4.4.43) находим

148

ε11ε

149