2. Сходящиеся последовательности и их основные свойства

2.1. Единственность предела

Теорема. Если ч.п. имеет предел, то он единственен.

2.2. Ограниченность числовой последовательности, имеющей предел

Теорема. Если ч.п. имеет предел, то она является ограниченной, т. е. существует такое число, что для любого члена числовой последовательности справедливо соотношение

.

2.3. Признак Больцано-Коши¹существования предела ч.п.

Для того, чтобы ч.п. имела конечный предел необходимо и достаточно, чтобы для каждого числасуществовал такой номер, чтобы для любыхивыполняется неравенство

.

Докажем только необходимое условие признака.

Пусть ч.п. имеет предел. Тогда можно выбрать какое-либо. По нему построить число, а по нему найти число, такое, чтобы для любыхвыполнялось бы условие. Выберем числаи, тогда

.

Что и требовалось доказать.

Утверждение достаточности принимаем без доказательства.

2.4. Теорема о пределе монотонно возрастающей ч.п.

Если монотонно возрастающая (в широком смысле, т.е. неубывающая в том числе) ч.п. ограничена сверху, то она имеет предел.

Доказательство

Известно, что если числовое множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю границу. Обозначим ее как

,

где - общий член возрастающей ч.п.

Покажем, что число и будет пределом ч.п. Действительно,есть одна из возможных верхних границ членов ч.п., т.е.

.

По свойству точной верхней границы для любого найдется такой член последовательности, что

.

Тогда для

.

Иначе . Умножив последние неравенства на -1, получим неравенства

, или

,

которые выполняются при . Значит,есть искомый предел ч.п.

Аналогично доказывается теорема о существовании предела убывающей ч.п., ограниченной снизу.

2.5. Теорема о вложенных промежутках

Путь ч.п. является монотонно возрастающей, а- монотонно убывающей. Пусть, также выполняются два условия:

1. при любых ,

2. .

Тогда .

2.6. Теорема о сжатой переменной (принцип двух милиционеров)

Если для трех числовых последовательностей всегда выполняются неравенства

,

причем числовые последовательности стремятся к общему пределу:

,

то и числовая последовательность имеет тот же предел:

.

2.7. Теорема о предельном переходе в неравенстве

Если для двух ч.п. всегда выполняется неравенство , причем каждая последовательность имеет предел:

и,

то и .

Замечание. Если , то из этого не следует.

1. Если числовая последовательность стремится к пределуи(), то все ее значения, начиная с некоторого, тоже будут больше(меньше).

Следствие 1. Если (), то и сама переменная, начиная с некоторого,().

Следствие 2. Если числовая последовательность стремится к пределу, отличному от нуля, то начиная с некоторого местапо модулю превзойдут некоторое положительное:

для ().

2.8. Теоремы о пределах ч. П. Полученных с использованием арифметических операций

2.8.1. Теорема о пределе суммы (разности) членов числовых последовательностей

Если ч.п. иимеют пределы

и,

то . Принимаем без доказательства.

2.8.2. Теорема о пределе произведения членов числовых последовательностей

Если ч.п. иимеют пределы

и,

то . Принимаем без доказательства. Следствием настоящей теоре­мы является утверждение о том, что постоянную можно вынести за знак предела.

2.8.3. Теорема о пределе отношения членов числовых последовательностей

Если ч.п. иимеют пределы

и,

причем ,

то . Принимаем без доказательства.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства

3.1. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение. Бесконечно малойназывается ч.п., предел которой равен 0

.

Для этого случая по любому положительного числа найдется номертакой, что для любыхвыполняется неравенство

.

Очевидно, что если , тоили- будут бесконечно малыми величинами. И наоборот, еслиилибесконечно малые величины, то.

Определение. Ч.п. называетсябесконечно большой,если для любого (сколь угодно большого) числанайдется номертакой, что для любыхвыполняется неравенство

.

Если ч.п. сохраняет свой знак, то пишут или. Иногда вместо знакапишут знак.

Пример. Ч. п. не является бесконечно большой величиной.