6.2.7. Переход от операторных токов к оригиналам

Этот переход является заключительным этапом в определении мгновенных значений токов в переходном процессе операторным методом. Это можно сделать различными способами: с применением табличных формул соответствия, часть из которых приведена в табл. 6.1, теоремы разложения, обратного преобразования Лапласа (6.14) и использованием компьютера с соответствующими прикладными программами (например, MathCad).

Теорема разложения. В большинстве случаев изображение может быть представлено рациональной дробью, например для тока

(6.26)

Если степень числителя меньше степени знаменателя m< n, и - вещественные числа, а корни уравнения не кратны и не равны корням уравнения то, как известно из курса математики, оригинал соотношения (6.27) может быть найден по теореме разложения:

, (6.27)

где р_k- корень уравнения , производная от по р.

Теорема (6.27) разложения позволяет по изображению в виде рациональной дроби найти оригинал.

Контрольная работа и методические указания к ее выполнению

ЗАДАЧА 6

К электрической цепи (рис. 6) приложено периодическое несинусоидальное напряжение u частотой f =50 Гц. Известны параметры цепи R, L, C, максимальное значение напряжения U_m (табл. 6.1), форма и ряд Фурье этого мгновенного напряжения u (табл. 6.2). Требуется определить мгновенное значение тока i на входе цепи и построить графически его спектры амплитуд и фаз.

Методические указания

Перед решением задачи необходимо изучить материал курса, относящийся к расчету цепей несинусоидального тока

Таблица 6.1

Последняя, предпоследняя или третья от конца цифра шифра студента	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Схема на рис. 4.1	а	б	в	г	д	б	в	г	а	д
Буква рис. 4 выбирается по последней цифре шифра
Форма напряжения u (табл. 6.2)	1	2	3	4	1	2	3	4	1	2
Форма напряжения u выбирается из табл. 6.2 по предпоследней цифре шифра
R, Ом	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
С, мкФ	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190
L, мГн Um, В	1 6	2 8	3 10	4 12	5 14	6 16	7 18	8 20	9 22	10 24
Параметры R , L, C и значение Um выбираются по третьей от конца цифре шифра

Рис. 6

Известно, что всякая периодическая функция, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена гармоническим рядом Фурье:

или ,

где A₀ – постоянная составляющая, k – номер гармоники, A_km – амплитуда k–й гармоники, y_k – начальная фаза k-й гармоники, В_km и С_km – амплитуды синусной и косинусной составляющих, w =2p/T – угловая частота основной гармоники.

Следовательно, периодическое несинусоидальное колебание может в общем случае рассматриваться как результат сложения постоянной составляющей

A₀ и бесконечного числа гармонических колебаний с частотами w, 2w, 3w,…, амплитудами A₁, A₂, A₃,… и начальными фазами y₁, y₂, y₃,…

Закон распределения амплитуд (начальных фаз) по частоте называют спектром амплитуд (фаз). Спектры амплитуд и фаз можно изобразить графически в виде отдельных (дискретных) линий, соответствующих отдельным амплитудам гармоник и их начальным фазам. Так, например, спектры амплитуд и фаз периодической последовательности импульсов (U_m=314 B) пилообразной формы (табл. 6.2, поз.1) представлены на графике (рис. 6.1). При этом изображены только три члена ряда Фурье.

Таблица 6.2

№ п/п	График	Формула разложения в ряд Фурье
1.	Um 0 2p 4p wt
2.	Um 0 2p 4p wt
3.	Um 0 p 2p wt
4.	Um wt 0 p 2p

Расчет электрических цепей, находящихся под воздействием несинусоидального периодического напряжения, ведется на основании принципа наложения (суперпозиции), а именно мгновенное значение несинусоидального тока любой ветви в данный момент времени равно сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник в данный момент времени. Аналогичное положение справедливо для несинусоидального периодического напряжения.

Рекомендуется следующий порядок расчета линейной цепи (определение мгновенного значения входного тока i):

1. Подготовить заданный ряд Фурье для расчета цепи комплексным методом. Для этого в ряду Фурье все косинусы и синусы с отрицательными амплитудами (если они присутствуют в ряду) преобразовать в синусы с положительными амплитудами, воспользовавшись известными соотношениями:

– sina = sin(a +180^°); ±cosa = sin(a ± 90^°). (6.1)

2. Рассчитать постоянный ток в цепи, возникающий от воздействия постоянной составляющей входного напряжения. При этом следует учесть, что индуктивное сопротивление при постоянном токе равно нулю X_L(0) = 0, а емкостное сопротивление – равно бесконечности X_C(0) = ¥.

3. Рассчитать мгновенные значения гармоник тока i_k от воздействия гармоник входного напряжения u_k частотой kw комплексным методом. При этом следует учесть, что индуктивное сопротивление имеет прямо пропорциональную зависимость, емкостное сопротивление – обратно пропорциональную зависимость:

X_LK = kwL = kX_L1L; X_CK = (kwC)^-1 = X_C1 / k.

4. В соответствии с методом наложения определяем мгновенное значение искомого несинусоидального тока как сумму токов п. 2 и п.3:

i = I₀ + i₁ + i₂ + i₃ + …+ i_k .

Пример 6. К электрической цепи (рис. 6, е) приложено несинусоидальное периодическое напряжение (табл. 6.2, поз.1). Частота напряжения f = 50 Гц, максимальное значение напряжения U_m=314 В. Параметры цепи R₁=R₂=10 Ом, L = 10 мГн, С = 200 мкФ.

Требуется определить мгновенное значение тока на входе цепи и построить его спектры амплитуд и фаз.

Решение. 1. Приводим заданное разложение в ряд Фурье (табл. 6.2, поз.1) с помощью соотношений (6.1) к виду

.

2. Рассчитываем постоянный ток I₀, возникающий от воздействия постоянной составляющей напряжения U₀ = U_m / 2. Учитывая, что X_L = 0, X_C = ¥, получим

I₀ = А.

U B

400

U_m1

300

200

100 U₀

U_m3 w/w₁

0 1 2 3

0 1 2 3 w/w₁

– 30

– 60

– 90

Рис. 6.1

I_m A

20 I_m1

15

10

I₀

5 I_m3

0 1 2 3 w/w₁

0 1 2 3 w/w₁

–30

– 60

– 90

Рис. 6.2

3. Рассчитываем мгновенное значение тока первой гармоники i₁ от воздействия первой гармоники входного напряжения u₁ = (4U_m /p)sin(wt – 90^°).

а) Определим комплексный токпервой гармоники:

,

где .

б) Определим мгновенное значение тока первой гармоники:

А.

4. Рассчитываем мгновенное значение третьей гармоники тока i₃ от воздействия третьей гармоники входного напряжения u₃ = (4U_m /9p)sin(3wt-90^°).

а) Определим комплексный ток третьей гармоники:

где =

=.

б) Определим мгновенное значение тока третьей гармоники:

А.

5. Определим мгновенное значение несинусоидального тока на входе цепи методом наложения:

i = I₀ + i₁ + i₃ =7,8 +20sin(wt -85^°) + 3,2sin(3wt –63,1^°) А.

На рис. 6.2 построены спектры амплитуд и фаз входного тока.

ЗАДАЧА 7

В цепи постоянного тока (рис. 7), состоящей из резистивных и реактивного элементов, происходит коммутация. При этом ключ из положения 1 переходит в положение 2, а соединение в точке 0 остается неизменным. Параметры цепи заданы (табл. 7).

Требуется: 1. Определить мгновенные значения тока и напряжения на реактивном элементе, решив задачу классическим методом.

Таблица 7

Последняя, предпоследняя или третья от конца цифра шифра студента	1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Схема на рис. 7	а в г д е ж з б в г
L, мГн	2 - 4 - 8 - 10 4 - 8
С, мкФ	- 10 - 20 - 30 - - 40 -
Вариант схемы и значения L, C выбираются по последней цифре шифра
U, В	6 8 10 12 14 16 18 20 24 36
Значение U выбирается по предпоследней цифре шифра
R1 = R2, Ом	20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Значения R1, R2 выбирается по третьей от конца цифре шифра

Методические указания

Перед решением задачи необходимо изучить материал курса, относящийся к расчету переходных процессов в линейных цепях классическим методом [1], с. 129…148 или [2], с. 189…230.

Расчет переходных процессов классическим методом рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

1. Определить начальные условия переходного процесса, т.е. значения тока в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе в докоммутационной цепи в момент, непосредственно предшествующий моменту коммутации.

2. Для цепи, образовавшейся после коммутации, составить дифференциальное уравнение на основании законов Кирхгофа и уравнений связи между мгновенными током и напряжением в элементах R, L и C.

При этом для цепей с емкостью составляем уравнение, в котором неизвестной функцией является напряжение на емкости, для цепей с индуктивностью – неизвестной функцией является ток в индуктивности.

3. Находим решение дифференциального уравнения п. 2 в виде суммы установившейся и свободной составляющих, например, для тока:

i_L = i_LУ + i_LСВ.

При этом сначала находим установившуюся составляющую, а затем свободную составляющую в виде экспоненциальной функции, для которой определяется степенной показатель l (величина, обратная постоянной времени цепи) и постоянная интегрирования на основании начальных условий и законов коммутации.

Рис. 7

Пример 7. В цепи постоянного тока (рис. 7, а) происходит коммутация. Параметры цепи и величина постоянного напряжения известны: 10 Ом, L=10 мГн, U=10 B. Определить ток i(t) в цепи и напряжение на индуктивном элементе u_L(t) в переходном режиме классическим методом.

Решение. 1. Определяем начальные условия, т. е. ток i_L(–0) в индуктивном элементе в докоммутационной цепи:

2. Составим по второму закону Кирхгофа уравнение и, используя уравнения связи между мгновенными i(t) и u(t), приведем его к дифференциальному виду, в котором неизвестным является искомый ток в цепи i(t) = i_L(t):

3. Находим решение дифференциального уравнения в виде суммы установившегося тока i_У и свободного тока i_СВ:

i = i_У+i_СВ,

где установившийся постоянный ток в цепи равен

i_У = U/R₂ = 10/5 = 2 А ,

а свободный ток определяется из решения однородного дифференциального уравнения:

в виде i_СВ = Ae^lt , где l = - R₂/L = 5×10² – корень характеристического уравнения

Ll + R₂ = 0.

Таким образом, решение дифференциального уравнения принимает вид:

4. Находим постоянную интегрирования A с учетом начального условия и закона коммутации:

i_L(–0) = i_L (+0) = 1 А.

Подставив в решение дифференциального уравнения t = 0 и полученное значение i(0) = 1, получим 1 = 2+A, откуда A = –1.

В результате этого выражение для мгновенного тока в переходном режиме принимает вид:

А.

Подставив в уравнение связи u_L = L di/dt выражение для тока i, получим напряжение на индуктивном элементе в переходном режиме:

ЗАДАЧА 8

К электрическим цепям, изображенным на рис. 7 (см. предыдущую задачу), подключено постоянное напряжение U. Ключом К осуществляется коммутация в этих электрических цепях. Параметры цепи заданы в табл. 7 (см. предыдущую задачу).

Требуется определить токи в переходном процессе. Задачу решить операторным методом.