Примеры для самостоятельного решения
Задание 1. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале –, :
1.
2.
3.
.
4.
.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задание 2. Разложить
в ряд Фурье функции, заданные на интервале
:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29
30.
=
Указание. Для решения примера 15 воспользоваться формулами 6
Задание 3. Представить интегралом Фурье следующие функции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
Указание. При решении следует воспользоваться формулами
;
;
;
;
;
.
Задание 4. Найти
косинус-преобразование Фурье
следующих функций:
1.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Задание 5. Найти
синус-преобразование Фурье
следующих функций:
1.
2.
3.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
Ответы
Задание 1
1. 
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
Задание 2
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
Задание 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
Задание 4
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Задание 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
Рекомендательный библиографический список
Основной:
1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Часть II. М.: Наука, 1985.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.
Дополнительный:
4. Данко П.В. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.В.Данко, А.Г.Попов, Г.Н.Кожевникова. М.: Высшая школа, 1997. т.2.
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.
6. Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. М.: Наука, 1981.
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Ряды Фурье 4
§ 1. Векторные пространства 4
§ 2. Скалярное произведение и норма функций 5
§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье 9
§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля 11
§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке –L, L 15
§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле 16
§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций 20
§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке 0, L 22
§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций 24
§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье 29
Глава 2. Интеграл Фурье 32
§ 11. Сходимость интеграла Фурье 32
§ 12. Преобразование Фурье 33
§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье 40
Глава 3. Операционное исчисление 49
§ 14. Преобразование Лапласа 49
§ 15. Изображения простейших функций 53
§ 16. Основные теоремы операционного исчисления 59
§ 17. Формула разложения Хевисайда 66
§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений 70
§ 19. Приложения 79
Примеры для самостоятельного решения 87
Ответы 94
Рекомендательный библиографический список 101