- •Методы и модели анализа динамики экономических процессов
- •Тема 1 . Задачи математического программирования
- •1.1. Основные формулы и определения
- •1.2. Симплекс-метод
- •1.2.1. Геометрическая интерпретация
- •1.2.2. Основная идея симплекс-метода
- •1.2.3. Реализация симплекс-метода (простейший случай)
- •1.2.4. Метод искусственного базиса
- •Задание
- •Тема: задача о распределении ресурсов
- •2.1. Постановка задачи, основные формулы
- •2.2. Изменение оптимального плана выпуска при изменении величин прибыли и запасов ресурсов
- •Задание
- •Варианты заданий
- •Содержание
Тема 1 . Задачи математического программирования
Цель работы:
изучить основные понятия линейного программирования;
освоить графический метод решения простейших задач линейного программирования;
научиться использовать симплексный метод с искусственным базисомна примере задачи о диете.
1. Основная задача линейного программирования
1.1. Основные формулы и определения
В каноническом виде задача линейного программирования (ЛП) формулируется следующим образом.
Найти такой набор , который является решением системы
(1.1) |
удовлетворяет соотношению
(1.2) |
и обеспечивает максимум (минимум) линейной функции
(1.3) |
Соотношения (1.1) принято называть фазовыми ограничениями, соотношения (1.2) –естественными ограничениями.
Функцию Fпринято называтьцелевойфункцией.
Система ограничений всегда может быть приведена к каноническому виду.
Если ограничения заданы неравенствами, то их можно преобразовать в равенства путем введения новых неотрицательных переменных, так называемых балансовых(выравнивающих)ресурсов.
Так, например, в неравенстве достаточно добавить к левой части некоторую величинуxn+1³0и получится равенство:.
Чтобы балансовые переменные не влияли на искомый оптимум, их вводят в целевую функцию (1.1) с нулевыми коэффициентами.
В дальнейшем будет рассматриваться только задача на максимизацию. Если необходимо решить задачу на минимизацию линейной формы, то коэффициенты целевой функции следует умножить на (1) и решать эту новую задачу на максимум. Искомый минимум целевой функции получается умножением найденного максимального значения на (1), т.е..
Задачу ЛП, определяемую соотношениями (1.1)-(1.3), можно записать в матричном виде:
,
,
,
где , , ,
.
В дальнейшем при анализе задачи также используется расширенная матрица системы (1.1) , которая составляется из матрицыАи вектораВ.
Пример 1. Задача о диете.
Составить задачу ЛП, позволяющую оптимизировать расход кормов, и привести ее к каноническому виду.
Для откорма животных употребляют два вида кормов; стоимость 1 кг корма I вида - 5 у.е., а корма - II вида 2 у.е. В каждом килограмме корма I вида содержится 5 ед. питательного вещества А, 2.5 ед. питательного веществаBи 1 ед. питательного веществаC. В каждом килограмме корма II вида содержится соответственно 3, 3 и 1.3 ед. Суточный рацион предусматривает питательных единицAне менее 225 ед., типаB- не менее 150 ед. и типаC- не менее 80 ед. Какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты были минимальны?
Решение
Построим математическую модель данной задачи. Обозначим через x1иx2количество кормов I и II вида соответственно. Тогда суммарная стоимость кормов будет равна 5x1+2 x2. Поэтому целевая функция будет иметь вид:
(1.4) |
Ограничения по содержанию питательных веществ в рационе будут иметь вид:
(1.5) | |
(1.6) |
Соотношения (1.4)-(1.6) корректно определяют задачу ЛП, но предложенная форма записи не является канонической. Для приведения задачи к этой форме домножим ЦФ (1.4) на –1, в результате получим новую ЦФ (1.7). Для преобразования фазовых ограничений (1.5) к канонической форме введем положительные балансовые переменные x3,x4иx5. Тогда фазовые ограничения примут вид (1.8), а естественные - вид (1.9).
(1.7) |
(1.8) | |
(1.9) |
Соотношения (1.7) – (1.9) определяют задачу ЛП в канонической форме.