Termekh_2
.docФедеральное агентство по образованию Российской Федерации
Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»
Кафедра механики
Расчетно-графическое задание №2
По дисциплине: Теоретическая механика
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
Тема: Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки
Вариант № 8
Выполнил: студент гр. _____________ Козлов В.Ю.
(подпись) (Ф.И.О.)
Руководитель: доцент _____________ Платовских М.Ю.
(подпись) (Ф.И.О.)
Санкт-Петербург,
2014
Задание: Твердое тело, принимаемое за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 1).
-
Найти скорость тела в положениях В, С и D, давление тела на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь.
-
Пройдя трубку, в точке D твердое тело встречается с пружиной жесткости с1 (ненапряженной в этом положении) и закрепляется на её конце, после чего начинаются свободные незатухающие (силы сопротивления не учитываются) колебания тела. Составить дифференциальное уравнение колебаний, получить закон колебаний, а также определить их параметры: круговую частоту, амплитуду и период.
Дано: m=0,2 кг; vA= 1 м/с; =0,5 с (время движения на участке AВ); R=2 м; f=0,2; =30o; =60o; 0=0; c1 =1000 H/м, (рис. 1). Определить vB, vC, vD – скорости шарика в положениях B, C и D; NC- сила давления шарика на стенку трубки в точке С.
Р ис. 1.
Решение
1) Скорость шарика в положении B найдем, применив на участке AB теорему об изменении количества движения материальной точки:
;
К точке приложены сила тяжести и сила трения :
;
Подставив данные и сократив на , получим:
.
Для определения и применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение шарика на участках BС и CD траектории происходит под действием силы тяжести G (силы трения на криволинейных участках не учитываем):
;
Подставив данные и сократив на , получим:
.
Определим давление тела на стенку канала в положении С. Для этого запишем уравнение метода кинетостатики для тела: геометрическая сумма сил, приложенных к шарику (- реакция трубки в положении С) и его силы инерции равна нулю:
Силу инерции тела можно разложить на нормальную и касательные составляющие:
;
Модуль нормальной составляющей силы инерции:
;
Спроецируем уравнение на ось y :
= -Gsin=
2) Для определения cкорости в точке D воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:
;
Для определения максимального сжатия пружины воспользуемся на участке DE теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:
=0,081м
Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х (силу тяжести не учитываем):
По известным массе груза m и жесткости пружины на конце трубки с1 определим частоту колебаний:
с-1.
Соответственно, период колебаний:
Т=0,087 с.
Общее решение уравнения имеет вид:
.
Постоянные интегрирования определяем из начальных условий (в точке D):
,
т.е. С1=0,
Таким образом, закон колебаний имеет вид:
, м.
Амплитуда колебаний:
а = 0,081 м.