MS_bak_220400_220700

После этого составляется система линейных уравнений, в результате решения которой находятся искомые коэффициенты.

Диапазон изменения коэффициента множественной корреляции: 0 R 1. Чем ближе величина коэффициента к единице R 1, тем теснее связь.

Для практического использования уравнения регрессии необходимо перейти к натуральному масштабу:

k

b0 y b j x j

j 1

- при наличии свободного члена.

2.6. Построение экспериментально-статистических моделей методами планирования эксперимента

В случае, когда на объекте моделирования можно провести активный эксперимент и необходимо большое число опытов по многим параметрам, применяют методы планирования эксперимента [4]. К ним относятся: ортогональное, симплексное и оптимальное двухуровневое планирование. Рассмотрим оптимальное двухуровневое планирование.

При планировании эксперимента условия опытов представляют собой фиксированное число значений уровней по каждому фактору.

При планировании по схеме полного фактора эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. При этом общее число опытов при проведении эксперимента рассчитывается по формуле:

Если эксперимент проводится только на двух уровнях (из k факторов), то постановка опытов по такому плану называется

41

оптимальным двухуровневым планированием ( N 2k ).

При этом уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по каждому технологическому параметру (минимальное z minj и максимальное z maxj значение по j -му фак-

тору).

По каждому фактору вычисляется центр плана и интервал варьирования:

где x j - значение факторов в безразмерной системе координат.

В безразмерной системе верхний предел по каждому параметру равен +1, а нижний предел равен -1 ( xmaxj 1, xminj 1 ).

Рассмотрим построение двухуровневого плана и расчета коэффициентов уравнения регрессии на примере процесса реакции.

Постановка задачи: необходимо установить зависимость выхода продукта реакции от температуры, давления и времени пребывания в аппарате T 100 200 С, P 2 6 МПа,

10 30 мин.

Записываем минимальные и максимальные значения параметров:

42

Координаты центра плана:

Интервалы варьирования:

Переходим к безразмерной системе x :

43

Составляем матрицу планирования (табл. 2.3), причем для выбранного примера число возможных комбинаций N для трех

факторов будет равно 23 8 .

Кодированная матрица в безразмерной системе обладает тремя свойствами, если дополнительно ввести в нее столбец фиктивной переменной ( x0 1 ) (эти свойства будут использовать-

ся для расчета коэффициентов уравнения регрессии). Свойства матрицы планирования:

n

1. x ji xui 0 , j,u 0, k , j u .

i 1

Свойство ортогональности матрицы планирования (равенство нулю скалярных произведений всех вектор-столбцов).

N

2. x ji 0 , j 1, k .

i 1

Сумма значений в столбцах равна нулю.

Сумма квадратов значений в столбцах равна числу возможных комбинаций N .

Выбираем следующее уравнение регрессии:

yˆ b0 b1 x1 b2 x2 b3 x3 ...bk xk .

Тогда матричная форма для системы нормальных уравнений получается из условия МНК:

N

yi yˆi 2 min .

i 1

b0 ,b1 ,...,bk

Решение системы нормальных уравнений в матричной форме можно представить следующим образом:

44

Таблица 2.3.

Набор экспериментальных данных

( X * X ) B X * Y ,

b0

B b1 - вектор искомых коэффициентов уравнения регрессии;

...

bk y1

y

Y ...2 - вектор значений выхода объекта.

yN

Благодаря первому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии для матрицы планирования. Это связано с тем, что матрица X * X становиться диагональной (все элементы такой матрицы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, а диагональные элементы, согласно последнему свойству, будут равны объему выборки N ).

B (X * Y ) (X * X ) 1 ,

46

где ( X * X ) 1 - обратная матрица (элементы главной диагонали равны N1 , остальные элементы равны 0 ).

Пользуясь последней формулой и планом, представленным в таблице, вычисляются коэффициенты линейного уравнения.

Аналогично выполняется расчет коэффициентов для более полных уравнений регрессии (при введении в модель следующих членов ряда Тейлора):

Если в выбранной структуре модели присутствуют коэффициенты взаимодействия, в этом случае матрицу планирования необходимо расширить (табл. 2.4).

Эффекты взаимодействия определяются аналогично линейным эффектам:

Если поставить дополнительно параллельные опыты, то можно рассчитать дисперсию воспроизводимости, выявить значимость коэффициентов уравнения регрессии и проверить адекватность модели по критерию Фишера.

Этот метод позволяет свести к минимуму число необходимых опытов и значительно упростить вычисление коэффициентов уравнения регрессии.

2.7. Контрольные вопросы

1.В чем особенность экспериментально-статистического подхода к моделированию?

2.Какие параметры технологических процессов относят к факторам, а какие к откликам? Приведите примеры.

3.Что такое корреляционное поле?

4.Что такое эмпирическая линия регрессии?

5. В чем суть МНК при определении параметров регрессионной модели?

6. Какими методами можно описать зависимость между несколькими входа и одним выходом?

7. Сформулируйте задачи регрессионного анализа.

8. Какие дисперсии вы знаете? Как они рассчитываются?

9.Что оценивается по критериям Стьюдента, Кохрена, Фишера? Как они рассчитываются?

10.Сформулируйте задачу корреляционного анализа.

11.Какие показатели оценки тесноты связи между выходом

ивходом Вы знаете? Как они рассчитываются?

12.В чем суть метода оптимального двухуровневого планирования?

13.Какими свойствами обладает матрица планирования?

48

2.8. Варианты заданий к лабораторной работе “Определение коэффициентов однопараметрических моделей технологических процессов статистическими методами”

Цель работы:

1)изучить методику обработки экспериментальных данных

иполучить параметры модели технологического процесса МНК;

2)проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера.

Постановка задачи.

Для указанного варианта исходных данных (табл. 2.5) построить эмпирическую линию регрессии y по x . По виду по-

строенной линии подобрать уравнение регрессии (табл. 2.6). Используя МНК составить систему уравнений и решить ее относительно определяемых коэффициентов. Составить схему алгоритма и программу расчета коэффициентов модели, оценить адекватность модели по критерию Фишера (приложение А), а также оценить тесноту связи между y и x по величине корреляцион-

ного отношения (если подобранное уравнение регрессии прямая, то вычисляется коэффициент парной корреляции).

Содержание отчета:

1.Название и цель работы, номер варианта.

2.Математическая формулировка задачи, содержащая все формулы, выводы и пояснения для решения поставленной задачи.

3.Схема алгоритма расчета с комментариями.

4.Листинг программы.

5.Анализ результатов (приводятся численные значения коэффициентов модели, критерия Фишера, величины корреляционного отношения, графики экспериментальной и расчетной кривых) с конкретными выводами.

49

Таблица 2.5.

Варианты заданий к выполнению лабораторной работы

50